Richiami di teoria sul modello gaussiano
                                       tratto da Finzi, Brusasca "La qualità dell'aria", Masson, Milano, 1991

Indice
1. Calcolo della concentrazione con il modello gaussiano
1.1 Modello gaussiano standard
1.2 Modello gaussiano con terreno riflettente
1.3 Modello gaussiano in presenza di inversioni in quota
2. Stabilità atmosferica
Tabella delle classi di stabilità
3. Profilo verticale della velocità del vento
Tabella degli esponenti della funzione che rappresenta il profilo della velocità del vento
4. Altezza effettiva della sorgente
4.1 Pennacchi galleggianti
4.2 Pennacchi tipo jet
5. Determinazione dei coefficienti di dispersione
5.1 "Pasquill-Gifford"
5.2 "Brookhaven National Laboratory"
5.3 "Tennessee Valley Authority"
5.4 "Briggs open-country" e "Briggs urban"
6. Elenco dei simboli utilizzati

1. Calcolo della concentrazione con il modello gaussiano
    1.1 Modello gaussiano standard
 Il calcolo della concentrazione è stato effettuato basandosi sul modello gaussiano derivato, con opportune ipotesi semplificative, dalla soluzione dell’equazione di diffusione:

(1)

dove:

C (x,y,z,t)= concentrazione di inquinante nel punto di coordinate (x,y,z), al tempo t
= velocità media del vento nella direzione i (i = x, y, z)
= coefficiente di diffusione turbolenta nella direzione jj (jj = xx, yy, zz)
S(x,y,z,t)= portata della sorgente di inquinante nel punto di coordinate (x,y,z), al tempo t
 Le ipotesi semplificative assunte per il caso in esame sono le seguenti:
  1. il processo è stazionario 
  2. il vento è costante nel tempo e nello spazio, e con intensità non nulla solo lungo la direzione x 
  3. nella direzione x, il trasporto dovuto al vento è preminente rispetto a quello dovuto alla turbolenza 
  4. i coefficienti di diffusione, e , sono costanti in y e z
  5. la sorgente è costante nel tempo e puntiforme, con valore non nullo (pari a Q) solamente nel punto di coordinate (0,0,0).
L’equazione (1) diviene di conseguenza:                 (2) Con le opportune condizioni al contorno: per 
per ,  la soluzione analitica risulta essere:     (3) ovvero una gaussiana doppia, con deviazioni standard e , essendo la concentrazione di fondo di inquinante in atmosfera, ,                                   (4)  L’equazione (3) presuppone quindi che la sorgente di inquinante sia posta nell’origine degli assi coordinati, e che la diffusione possa avvenire indefinitamente verso l’alto e verso il basso.

Nella realtà bisogna tenere conto della presenza del terreno, che riflette parte dell’inquinante, per cui si procede a modificare opportunamente l’equazione (3).


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    1.2 Modello gaussiano con terreno riflettente
 Si suppone che l’emissione avvenga ad una quota z=He (essendo He l’altezza effettiva della sorgente), e si considera il suolo totalmente riflettente nei confronti delle particelle di inquinante che lo raggiungono.

Il contributo dato dalla riflessione si può immaginare equivalente a quello dato da una sorgente virtuale posta alla quota z=-He , per cui l’equazione (3) assume la seguente forma:

           (5)
 Una formulazione analoga si otterrà anche nel caso in cui si consideri la presenza di strati di inversione termica e di inversione in quota, come verrà mostrato successivamente.
 Per mostrare la diversa distribuzione di inquinante che risulta dalle eq. (3) e (5), si propongono di seguito due esempi di risultati ottenibili.
 In questo caso si ignora la presenza del terreno, per cui la distribuzione di inquinante risulta simmetrica, lungo la direzione x, rispetto alla sorgente.

    Figura 1 – Distribuzione derivante dal modello gaussiano standard
  In quest’altro caso, invece (senza variare i parametri), si prende in considerazione la presenza del terreno, e lo si considera totalmente riflettente. Risulta evidente il contributo della sorgente virtuale posta alla quota z=-He .
Figura 2 - Distribuzione derivante dal modello gaussiano con terreno riflettente

Per la determinazione dei parametri presenti nell’equazione (ovvero ) si è fatto riferimento ad alcune delle metodologie più accettate in letteratura, riportate nelle sezioni successive.

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    1.3  Modello gaussiano in presenza di inversioni in quota
 La trattazione è simile alla precedente, considerando però che il pennacchio non è più libero di espandersi indefinitamente verso l’alto.

Si può estendere il modello utilizzato per tener conto della riflessione al suolo, valutando ora la presenza di un secondo strato riflettente, in quota; il pennacchio continuerà a rimbalzare tra i due strati, e la formulazione corretta per definire la concentrazione risulta quindi la seguente:

   (6) essendo la quota dello strato di inversione.

Come si può notare, la formula assume la presenza di infinite sorgenti virtuali, poste a quota (J=0), (), e così via.
La serie converge generalmente con pochi termini (), e la distribuzione verticale della concentrazione di inquinante tende ad uniformarsi allontanandosi dalla sorgente. E’ quindi ragionevole considerarla uniforme al di là di un certo valore della coordinata x.

Se è la distanza a cui il pennacchio raggiunge per la prima volta lo strato di inversione, si assume costante la distribuzione verticale per , ottenendo la formulazione seguente:

    (7)
Per definire il valore di , si assume convenzionalmente che il bordo del pennacchio sia definito da una concentrazione pari a 1/10 di quella massima (centrale), e si ricava che è quella distanza per cui
                                                     (8).
Quindi, si utilizza la formula (6) fino alla distanza , la (7) oltre la distanza , e un’interpolazione tra le due per le distanze intermedie.
 Un esempio dei risultati ottenuti è mostrato nella seguente immagine, in cui è possibile apprezzare la fase di transizione tra le zone a distribuzione verticale uniforme e variabile (corrispondente approssimativamente all’intervallo 205 £x £410m).
 
 

Figura 3 - Distribuzione derivante dal modello gaussiano, con terreno riflettente e strato di inversione in quota
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2. Stabilità atmosferica
Il gradiente di temperatura adiabatico è definito da

   (9) essendo
= temperatura della particella d’aria
= quota della particella
= accelerazione di gravità
= calore specifico a pressione costante
In caso di atmosfera neutra si ha quindi una diminuzione di circa 1°C ogni 100 m di quota.

Si possono definire le seguenti situazioni di stabilità:

Il gradiente termico dell’atmosfera è minore di quello adiabatico, situazione tipica nel periodo diurno. Il moto verticale delle particelle d’aria viene quindi amplificato, per cui si ha una elevata dispersione verticale. Il gradiente termico è prossimo a quello adiabatico, per cui si ha una situazione di equilibrio per le particelle. Il gradiente termico dell’atmosfera è maggiore di quello adiabatico, per cui vengono smorzati eventuali movimenti verticali delle particelle d’aria. Si ha quindi una dispersione verticale ridotta. Si ricade in questo caso se si è in presenza di uno strato d’aria in cui la temperatura aumenta con la quota. In tale condizione può essere impedita la diffusione verso l’alto delle particelle, che restano intrappolate al di sotto di tale strato limite, con conseguente aumento della concentrazione al suolo. Se lo strato di inversione è a una quota inferiore a quella di emissione, la situazione è duale rispetto alla precedente, e le particelle di inquinante vengono riflesse verso l’alto, senza raggiungere il suolo. Per schematizzare le varie categorie di stabilità, si fa generalmente ricorso alla seguente corrispondenza:

Tabella 1 – Categorie di stabilità atmosferica

 Categoria di stabilità
Situazione atmosferica
A
condizioni estremamente instabili
B
condizioni moderatamente instabili
C
condizioni leggermente instabili
D
condizioni neutre
E
condizioni leggermente stabili
F
condizioni stabili

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    3. Profilo verticale della velocità del vento (V)
Il profilo verticale della velocità del vento è un parametro influenzato dalla rugosità del terreno e dalla situazione di stabilità atmosferica.
Si considerano in genere due possibilità: velocità del vento costante con la quota, oppure variabile.
Nel primo caso si assume la velocità del vento costante a qualsiasi quota, pari a quella rilevata nel punto di emissione dell’inquinante.
Nel secondo caso, basandosi sulla velocità alla quota di emissione, si applica un’equazione di tipo esponenziale per calcolarla ad una quota generica:
                            (10)
dove:
    = velocità del vento alla generica quota z
    = velocità del vento misurata alla quota z', assunta pari alla quota di emissione.
L’esponente p è definito in funzione della stabilità atmosferica e della rugosità del terreno, ed i valori utilizzati sono riportati nella seguente tabella:
    Tabella 2 – Valori di p, in funzione della rugosità del terreno e ella stabilità atmosferica
Alla quota del terreno la velocità risulta nulla; per evitare che le equazioni (3, 5, 6, 7) utilizzate per il calcolo della concentrazione divergano, si assume:
    .
Le variazioni del profilo verticale della velocità del vento diminuiscono spostandosi verso situazioni atmosferiche di maggiore instabilità, come si può verificare nel grafico seguente, ottenuto considerando due casi esemplificativi (velocità vento = 5 m/s alla quota di 60m; rugosità terreno = 0.10 m; classi di stabilità atmosferica: B, E).
     

    Figura 4 – Variazione del profilo verticale della velocità del vento, in funzione della stabilità atmosferica

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4. Altezza effettiva della sorgente (He)

All’uscita dalla ciminiera il pennacchio di fumo è soggetto ad una fase di innalzamento, transizionale, e ad una in cui si può considerare livellato, ovvero con l’altezza del baricentro costante.

Il parametro He , altezza effettiva della sorgente, è definito come l’altezza a cui il pennacchio raggiunge la situazione di livellamento (convenzionalmente, quando la pendenza scende al di sotto del 5%).

He è data dalla somma di due componenti: l’altezza geometrica della sorgente e il sovrainnalzamento:

                                    (11) Si considerano generalmente due categorie principali di pennacchi: Si trascurano, in questa trattazione, i possibili effetti scia della ciminiera e/o degli edifici circostanti, significativi, rispettivamente, in caso di rapporto tra velocità di uscita e velocità del vento minore di 1.5, e di rapporto tra altezza della ciminiera e degli edifici minore di 2.5 .

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    4.1 Pennacchi galleggianti
Rientrano in questa categoria i pennacchi caratterizzati da masse elevate, con temperatura dei fumi maggiore di quella ambiente. La massa elevata ostacola il rimescolamento con l’atmosfera, e determina un innalzamento che si protrae per un periodo piuttosto prolungato.

Si è utilizzata la formula di Briggs, che definisce l’innalzamento pari a:

        (12)
essendo
          (13)
definito come "parametro di galleggiamento" (Ts è la temperatura dei fumi, T la temperatura dell’aria, D il diametro terminale della ciminiera).
      4.1.1 Atmosfera neutra
Per quanto riguarda la distanza a cui l’asse del pennacchio si può considerare livellato, si distinguono due sottocasi: Il sovrainnalzamento massimo risulta essere:                             (16) Nella simulazione, si è utilizzata tale formulazione anche per il caso di atmosfera instabile.
 
      4.1.2 Atmosfera stabile
In questo caso si effettua una distinzione basata sulla velocità del vento:                                     (17)


quindi

                      (18),


essendo
 

definito come "parametro di stabilità dell’atmosfera";

è la temperatura potenziale dell’aria, ovvero la temperatura che la particella d’aria assume se viene portata adiabaticamente ad una pressione di riferimento di 1000 hPa;

assume valore nullo nel caso di atmosfera neutra, valori positivi per atmosfera stabile e negativi per atmosfera instabile.

                     (19) quindi                             (20),
      4.1.3 Atmosfera instabile
Si utilizza la formula seguente:     (21), dove = flusso di calore sensibile al suolo
= altezza dello strato di rimescolamento
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    4.2 Pennacchi tipo jet
Fanno parte di queste categoria i pennacchi per cui il sovrainnalzamento è dovuto principalmente ad una elevata velocità di efflusso dei fumi.

La formula di Briggs è in questo caso la seguente:

        (22)
essendo
                    (23)
definito come "parametro di flusso inerziale" ( è il raggio della ciminiera, e sono le densità dei fumi e dell’aria).
Avendo maggior importanza la velocità del fumo rispetto alla sua temperatura, si può considerare , e quindi , per cui è possibile semplificare l’espressione utilizzata.

Nella definizione dell’innalzamento massimo si distinguono due sottocasi:

      4.2.1 Presenza di uno strato di inversione in quota
Se è presente uno strato di inversione in quota, è possibile che il sovrainnalzamento del pennacchio venga ostacolato.
L’inversione è caratterizzata da una quota iniziale e da una finale (, ), e da una escursione termica ().
Si indica con l’altezza massima raggiungibile dal pennacchio nelle condizioni di inversione presenti, e la si ricava dalle seguenti equazioni: , per                 (26)
, per         (27) essendo                                                 (28) Il pennacchio è in grado di superare lo strato di inversione se , oppure se  nel caso di strato di inversione con notevole estensione verticale; se tali condizioni non sono verificate, resterà confinato al di sotto dello strato limite.

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5. Determinazione dei coefficienti di dispersione (sye sz)

I coefficienti di dispersione, sye sz, sono i parametri che determinano la dispersione dei fumi nell’atmosfera.
I valori da essi assunti sono condizionati dalla situazione di stabilità atmosferica e dalla coordinata x in corrispondenza della quale vengono valutati. Tali valori tendono ad aumentare con la distanza e con l’instabilità.

Vi sono vari modelli generalmente utilizzati per il calcolo; nel nostro caso si sono considerati i seguenti:

    5.1 Pasquill-Gifford
      E’ generalmente utilizzato in condizioni di terreno relativamente piatto (aperta campagna), con sorgenti a bassa quota (< 80m), ed ha la seguente formulazione:

      ,,             (29)
      con i valori delle costanti definiti nella seguente tabella:

      Tabella 3 – Valori delle costanti per il calcolo della dispersione con il modello "Pasquill-Gifford"

    5.2 Brookhaven National Laboratory (BNL)
Utilizza un minor numero di categorie di stabilità rispetto al modello di Pasquill, con la seguente corrispondenza (Pasquill-Gifford) Þ (BNL):
  A Þ (B2) , (B) Þ (B1) , (C,D,E) Þ (C) , (F) Þ (D).


La formulazione è del tipo:
      , ,         (30)
     con i valori delle costanti a,b,c,d definiti nella tabella 4.

    Tabella 4 - Valori delle costanti per il calcolo della dispersione con il modello "BNL"
    5.3 Tennessee Valley Authority (TVA)
E’ indicato per grandi impianti di potenza a carbone situati in aperta campagna; si considera come velocità del vento la media tra quella alla quota di emissione e quella alla quota massima raggiunta dal pennacchio.

Si distinguono solamente due condizioni di stabilità, e la formulazione è la seguente:
    5.4 Briggs open-country, Briggs urban
      Le formule sono ottenute dalla combinazione dei tre modelli precedenti, operando una distinzione tra diffusione su terreni con coefficiente di rugosità ridotto (Briggs open-country) o elevato (Briggs urban).
         
      Le formulazioni sono riportate nelle Tabelle 5 e 6.

      Tabella 5 - Formule per il calcolo della dispersione con il modello "Briggs open-country"
       
      Briggs open-country
      Categoria di stabilità
      sy
      sz
      A
      0.22x (1 + 0.0001x)-1/2
      0.20x
      B
      0.16x (1 + 0.0001x)-1/2
      0.12x
      C
      0.11x (1 + 0.0001x)-1/2
      0.08x (1 + 0.0002x)-1/2
      D
      0.08x (1 + 0.0001x)-1/2
      0.06x (1 + 0.0015)-1/2
      E
      0.06x (1 + 0.0001x)-1/2
      0.03x (1 + 0.0003x)-1
      F
      0.04x (1 + 0.0001x)-1/2
      0.016x (1 + 0.0003x)-1

      Tabella 6 - Formule per il calcolo della dispersione con il modello "Briggs urban"
       
      Briggs urban
      Categoria di stabilità
      sy
      sz
      A – B
      0.32x (1 + 0.0004x)-1/2
      0.24x (1 + 0.0001x)-1/2
      C
      0.22x (1 + 0.0004x)-1/2
      0.20x
      D
      0.16x (1 + 0.0004x)-1/2
      0.14x (1 + 0.0003x)-1
      E - F
      0.11x (1 + 0.0004x)-1/2
      0.08x (1 + 0.00015x)-1

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    6. Elenco dei simboli utilizzati
: concentrazione di inquinante

: concentrazione di fondo di inquinante in atmosfera

: calore specifico a pressione costante

: diametro terminale della ciminiera

: parametro di galleggiamento

: parametro di flusso inerziale

: accelerazione di gravità

: altezza effettiva della sorgente, pari a 

: altezza geometrica della sorgente

: quota dello strato di inversione

: coefficiente di diffusione turbolenta nella direzione x, y, z

: portata della sorgente

: raggio terminale della ciminiera

: sorgente di inquinante

: tempo

: temperatura dell’aria

: temperatura dei fumi

: velocità media del vento

: velocità media del vento nella direzione x, y, z

: coordinate spaziali (x: orizzontale, direzione vento; y: orizzontale, ortogonale a x; z: verticale)

: valori della coordinata x per cui il pennacchio di fumo raggiunge lo strato di inversione in quota

: altezza iniziale e finale di uno strato di inversione

: gradiente di temperatura adiabatico dell’aria

: sovrainnalzamento massimo del pennacchio

: escursione termica di uno strato di inversione

: densità dei fumi e dell’aria

: coefficienti di dispersione
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