soluzione consorzio trattamento

Consorzio trattamento acque: SOLUZIONE

FORMULAZIONE:

Si tratta di minimizzare il costo totale di trattamento e quindi dette t₁ e t₂ le quantità trattate rispettivamente nell’impianto 1 e nel 2, la funzione obiettivo da minimizzare sarà semplicemente costituita dalla somma dei due prodotti p_jt_j, j=1,2.

Più complessa è la scelta delle variabili di decisione che in un caso reale includono il percorso e il tipo di condutture che portano da ciascun utente ad uno o ad entrambi gli impianti. In questo caso assai semplificato prescindiamo dalla posizione fisica di utenti ed impianti e supponiamo che gli unici costi rilevanti siano quelli di trattamento.
Assumiamo quindi che le variabili di decisione siano le portate x_ij che l’utente i invia all’impianto j.
Tali quantità sono vincolate in tre diversi modi: la domanda di ciascun utente deve essere soddisfatta, cioè i liquami prodotti devono essere trattati completamente; la somma delle portate che giungono a ciascun impianto non deve superare la portata massima trattabile nell’impianto stesso; la concentrazione in uscita dall’impianto deve essere inferiore a quella prevista dalla legge (ovviamente gli apporti di tutti gli utenti si miscelano completamente all’interno di ciascun impianto).

Potremo quindi formulare il problema nel modo seguente:

min p₁t₁+ p₂t₂
{x_ij}

con i vincoli:

- portate complessive che giungono agli impianti

N
å x_ij=t_jj=1,2
i=1 - soddisfacimento della domanda 2
å x_ij=q_ii=1,….,N
j=1 - portate compatibili con le capacità massime

t_j£Q_j j=1,2

- concentrazioni in uscita compatibili con la legge       N
0.6 å c_ix_i1
        i=1
------------------ £ C ( per il depuratore n° 1 )
      N
       åx_i1
      i=1

      N
0.2 å c_ix_i2
      i=1
--------------- £ C ( per il depuratore n° 2 )
      N
       åx_i2
        i=1

Si noti che il termine al numeratore delle due disequazioni precedenti indica la quantità complessiva di inquinante che resta dopo la depurazione ( i due impianti rimuovono infatti il 40% e l’ 80% dell’inquinante ) mentre il termine al denominatore rappresenta la portata complessiva che fluisce all’impianto. Il rapporto dà quindi la concentrazione in uscita.

Inoltre deve ovviamente essere

x_ij ³ 0 i=1,…..,N ; j=1,2

dato che si tratta di portate.

AMMISSIBILITA':
Si noti che soluzioni ammissibili per questo problema esistono ovviamente solo se gli impianti sono stati dimensionati in modo adeguato. In questo caso si può determinare la soluzione ottima mediante l’algoritmo del simplesso dato che la formulazione proposta è di programmazione lineare.

Nella realtà oltre ai già citata fattori dovuti alla disposizione fisica delle varie parti del sistema, si dovrà tener conto che tanto i costi del trattamento quanto quelli del trasporto dei liquami esibiscono di solito notevoli economie di scala per cui la formulazione lineare qui presentata potrebbe essre utilizzata solo in un ristretto campo di valori delle t_jper le quali l’ approssimazione di una crescita lineare dei costi possa apparire giustificata.

UN'ALTRA POSSIBILE FORMULAZIONE:
Una formulazione del tutto analoga del problema, ma con le portate Q_j degli impianti considerate come variabili di decisione, potrebbe essere utilizzata anche per fissare la dimensione ottima degli impianti. In questo caso, tenedno conto che i costi di trattamento sono delle funzioni non lineari p_j(t_j) che comprendono anche i costi fissi degli impianti, si scriverà una funzione obiettivo

min p₁(t₁)t₁ + p₂(t₂)t₂
{x_ij,Q_j}

e si introdurrrà il vincolo N
å q_i = Q₁ + Q₂
i=1 in cui compare il segno di uguaglianza dato che è certamente antieconomico costruire impianti con capacità maggiore di quella richiesta. Essendo tutti i vincoli di tipo lineare in questo caso si potrà pervenire alla soluzione ottima utilizzando un algoritmo non lineare per fissare i valori di Q₁e Q₂ e risolvendo quindi, per ciascuna coppia di questi valori, un problema lineare tramite l’algoritmo del simplesso per verificarne l’ammissibilità rispetto a tutti i vincoli. Notando poi che la somma di Q₁e Q₂ è nota (vedi l’ultimo vincolo scritto), basterà utilizzare un metodo di ricerca monodimensionale (es. bisezione, Fibonacci, ecc.) per fissare Q₁, ottenere per differenza il valore di Q₂ e quindi risolvere il programma lineare corrispondente. Una sequenza di operazioni di questo tipo che sfrutta la particolare struttura del problema e lo scompone nelle due parti lineare e non lineare, costituisce un metodo molto rapido ed efficace per pervenire alla soluzione ottima.

ESERCIZIO PRECEDENTE

Testo

ESERCIZIO SUCCESSIVO