Minimizzazione scarti di lavorazione: SOLUZIONE
 

CASO GENERALE: 
Consideriamo quali possibilità di impiego esistono per un tratto di lunghezza unitaria del rotolo di partenza. Da esso possono essere ricavate 3 strisce del tipo 1 in parallelo (30+30+30 cm) con uno scarto di 10 cm. Indichiamo con (a) questa configurazione. Sono anche possibili le seguenti configurazioni: 2 strisce da 30 cm e una da 40 con scarto 0 (b), 2 strisce da 40 cm con scarto 20 (c) o 2 strisce da 50 con scarto 0 (d), una da 30 e una da 50 con scarto 20 (e), una da 40 e una da 50 con scarto 10 (f). La decisione da prendere sarà dunque quanti metri di rotolo vadano tagliati in ciascuna configurazione. Chiamiamo queste quantità xa, xb,...,xf. Esse costituiranno ovviamente le variabili di decisione del problema.

La funzione obiettivo sarà data dalla minimizzazione degli scarti che sono associati a ciascuna configurazione. Scriveremo quindi (misurando tutto in metri):
 

min 0.1xa+ 0.2xc+ 0.2xe+ 0.1xf
{xi }
coi vincoli
3xa + 2xb +x e ³ l1

xb + 2xc +xf³ l2

2xd + xe + xf ³ l3

xa +xb +xc +xd +xe +xf=L

xa,xb,xc,xd,xe,xf³ 0.

Si tratta anche in questo caso di un problema di programmazione matematica lineare e pertanto risolubile con l’algoritmo del simplesso. Naturalmente perché esista tale soluzione è necessario che L sia sufficientemente grande rispetto a l1, l2 e l3 (come si potrebbe determinare il valore minimo di L che consente l’esistenza di una soluzione ?). In pratica la soluzione ottima del problema corrisponderà sempre a valori elevati di xb e xd che non compaiono nemmeno nella funzione obiettivo dato che implicano uno scarto nullo e avrà valori diversi da zero per le altre variabili solo per alcune combinazioni di valori l1, l2 e l3.

ESEMPIO:
Ad esempio, nel caso

L=75 l1=30 l2=45 l3=62

la soluzione ottima risulta la seguente:

xa=0   xb=43   xc=1   xd=31   xe=0   xf=0

che corrisponde ad uno scarto di 0.2 ed ad una produzione di 56 metri di strisce da 30 cm in più della quantità richiesta. Tale soluzione è stata ottenuta su di un personal computer in un tempo inferiore al secondo.

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