I sistemi lineari sono una classe particolare, ma molto importante, di sistemi dinamici. Come tali essi sono caratterizzati da variabili di ingresso, stato e uscita, nel seguito indicate con u, x e y. Con t si indica, invece, il tempo, che può essere un intero (sistema a tempo discreto) o un reale (sistema a tempo continuo). Limitandoci al caso dei sistemi con un solo ingresso e una sola uscita e a dimensioni finite dobbiamo ulteriormente assumere che

dove la dimensione n del vettore di stato si chiama ordine del sistema.

Fatte queste premesse, possiamo definire i sistemi lineari a tempo discreto come quei sistemi in cui lo stato si aggiorna secondo una equazione lineare, detta equazione di stato, 

        (1)
dove A è una matrice e b un vettore  e l'uscita dipende dallo stato e dall'ingresso secondo una equazione lineare, detta trasformazione d'uscita,

               (2)

dove cT è un vettore riga  e d un reale. Scritta per ogni componente xi del vettore di stato, la (1) corrisponde a 

mentre la (2) si specifica in

Nel seguito supporremo A, b, cT e d siano costanti nel tempo (sistemi invarianti).

In modo del tutto analogo, indicata con  la derivata di x(t) rispetto al tempo, possiamo definire i sistemi lineari a tempo continuo come quei sistemi con equazione di stato

               (3)

e la trasformazione d'uscita

             (4)

I sistemi lineari (sia a tempo discreto che a tempo continuo) sono cosí individuati dalla quaterna (A,b,cT ,d) che è conveniente ordinare nel modo seguente
 
 

Essi sono spesso rappresentati in una delle due forme mostrate in Fig. 1.
 

Figura 1 Rappresentazioni di un sistema lineare: (a) forma compatta; (b) forma disaggregata
in cui il primo blocco rappresenta l'equazione di stato e il secondo la trasformazione d'uscita

La prima forma mette in evidenza soltanto le variabili di ingresso e uscita, dette esterne perché sono quelle attraverso le quali ogni sistema interagisce con il resto del mondo. La seconda forma mette in evidenza anche le variabili di stato, dette interne.
In molti casi l'ingresso non influenza direttamente l'uscita, cioè d=0. Tali sistemi, detti propri, sono individuati dalla terna (A, b, cT) mentre quelli con , detti impropri, sono caratterizzati da una quaterna (A, b, cT,d). Sistemi senza ingresso (b=0), o con ingresso identicamente nullo, si dicono autonomi e sono descritti, nel caso siano propri, dalla coppia (A, cT). Nel seguito discuteremo le principali proprietà dei sistemi lineari, iniziando da quelle che dipendono soltanto dalla matrice A (reversibilità e stabilità interna), continuando con quelle caratterizzate dalla coppia (A, b) (raggiungibilità) o dalla coppia (A, cT) (osservabilità) e terminando con quelle che dipendono dalla terna (A,b, cT) o dalla quaterna (A, b, cT ,d) (stabilità esterna, sfasamento minimo, minimalità, ...).



 
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