IL MODELLO:

Indicato con x(t) il livello di un lago misurato rispetto al fondo della sezione del suo emissario e supponendo che le rive del lago siano sufficientemente scoscese da poter trascurare le variazioni di superficie indotte da variazioni di livello, si può scrivere:
 
 

dove q_usc rappresenta il deflusso dall'emissario e q_in l'afflusso netto (cioè il netto tra afflussi degli emissari, precipitazioni, infiltrazioni e perdite, prelievi ed evaporazione).

Poichè nel caso specifico interessa calcolare il colmo di piena conseguente alla rottura dello sbarramento, le portate degli immissari e degli emissari sono certamente dominanti rispetto a tutte le altre. 
E' pertanto lecito ritenere che q_in sia la portata dell'immissario e che q_usc sia quella dell'emissario. Inoltre, vista la breve distanza intercorrente tra i laghi è pure lecito ipotizzare che la portata dell'emissario di un lago sia uguale alla portata dell'immissario del lago immediatamente a valle.
Dai dati di Fig.2 appare anche chiaramente che le portate degli emissari sono ben approssimabili con funzioni quadratiche dei livelli, cioè:
 

i=1,2,3

Immaginando, infine, che al momento della rottura dello sbarramento l'Andesi sia in magra già da qualche tempo (per cui ) e che l'acqua contenuta nel serbatoio si riversi istantaneamente nel primo lago (generando così un livello x₁ pari a C/S₁) il modello dell'intero sistema risulta il seguente:
 
 

		(1)
		(2)
		(3)

Il modello (1,2,3), noti che siano i parametri a_i e b_i, può essere usato per simulare l'episodio di piena e per verificare, in particolare, che il colmo  sul terzo lago superi effettivamente il metro di guardia esistente tra la quota della galleria e il livello del lago in magra (x₃=0).

Nel caso le bocche degli emissari vengano ritoccate, cambiano ovviamente i valori dei parametri a_i e b_i. 
Nell'ipotesi che il restringimento della bocca di un emissario dia luogo allo stesso aumento percentuale di portata a tutti i livelli, e tenuto presente che i ritocchi vengono proposti solo sui primi due laghi, possiamo modificare le (1,2,3) nel modo seguente:
 

		(4)
		(5)
		(6)

dove K₁ e K₂ sono i parametri di progetto, ovviamente vincolati ad essere positivi e minori o uguali a 1. Ad esempio, K₁=0.7 e K₂=0.9 rappresentano interventi cui corrispondono una diminuzione del 30% e del 10% delle portate del primo e del secondo emissario.

Naturalmente, i costi di intervento C₁ e C₂ sui due emissari devono essere specificati in funzione delle variabili di progetto. Ciò può essere fatto facilmente ricavando dai dati riportati in Fig.3 due funzioni:
 

	(7)
	(8)

Il problema di ottimizzazione da risolvere è pertanto il seguente:
 

soggetto ai vincoli
 
 

dove  è il massimo valore di x₃(t) soddisfacente le (4,5,6). 
In altre parole, si tratta di determinare il "miglior" sistema all'interno della famiglia di sistemi dinamici (4,5,6) individuata dai parametri di progetto (K₁,K₂).

TARATURA DEL MODELLO:

Perchè il modello (4,5,6,7,8) sia univocamente individuato è necessario "tarare" i parametri a_i, b_i, a_i e b₁ che in esso appaiono.

Il valore del parametro a₂ è direttamente leggibile in Fig.3, in cui i tre dati relativi al secondo emissario allineano perfettamente con l'origine. Gli altri parametri possono essere stimati a coppie ((a₁,b₁),(a₂,b₂),(a₃,b₃),(a_1,b₁)) usando il classico metodo della stima ai minimi quadrati.
In tutti e quattro i casi (vedi Figg. 2,3), si tratta di determinare due parametri A e B di una funzione quadraticaz=Ay+By²
 

z=Ay+By2

(9)

in modo che risulti minima la somma dei quadrati degli scarti e_i tra tre valori assegnati  e i corrispondenti valori  stimati con la (9).

Le relazioni che definiscono gli scarti e_i sono
 

che in forma matriciale diventano:
 

Fp=g+e

con:
  e la stima  che minimizza la somma dei quadrati degli scarti  è 
 

Pertanto gli otto parametri (a₁, b₁) e (a_i, b_i), i=1,2,3 si possono facilmente calcolare invertendo quattro matrici di dimensione 2x2 (le matrici F^TF).

CALCOLO DELLA SOLUZIONE OTTIMA:

Per determinare il progetto ammissibile a costo minimo si può pensare di procedere in due fasi. 
Innanzitutto si può determinare, nel piano (K₁,K₂), la linea K₂=f (K₁) cui corrispondono progetti che danno luogo a colmi  al limite dell'accettabilità, cioè . 
Nella seconda fase si può invece cercare il punto sulla linea K₂=f (K₁) cui corrisponde il minimo valore del costo
 

La linea K₂=f (K₁) può essere determinata nel modo seguente. 
Fissati tre raggi per l'origine nel piano (K₁,K₂), come mostrato in Fig.4, si cerca su ognuno di questi raggi il punto P_i per cui  (cioè il punto di intersezione con la linea K₂=f (K₁)). 
La ricerca del punto P_i può essere fatta per simulazione. Ad esempio, per trovare il punto P₂ sul secondo raggio, di equazione K₂=K₁, basta porre K₁=K₂=K nelle (4,5,6) e calcolare, per mezzo di un opportuno package di simulazione,  per un primo valore di K, diciamo K⁽¹⁾. 
Se ,  si diminuisce K (cioè si chiudono ulteriormente le bocche degli emissari) e si ricalcola  per un valore K⁽²⁾<K⁽¹⁾ e così si procede finchè dopo n iterazioni, si trova un valore K⁽ⁿ⁾ di K cui corrisponde un colmo .
Gli ultimi due valori trovati di K individuano un intervallo (K⁽ⁿ⁾,K^(n-1)) in cui va ricercata, con qualche ulteriore simulazione, la soluzione corrispondente al punto P_2.
 

Fig. 4:Determinazione dei punti Pi, i=1,2,3 e della linea K2=f (K1)  rappresentante le soluzioni al limite di accettabilità

si possono determinare i parametri q, r e s imponendo il passaggio della parabola per i tre punti P_i.

La seconda fase dell'ottimizzazione consiste nel risolvere il problema:
 

soggetto ai vincoli:
 

per cui, nel caso specifico, per sostituzione il problema diventa monodimensionale, cioè:
 

soggetto ai vincoli:
 

Se l'ottimo è un punto interno all'intervallo (0,1) deve essere:
 

e quindi:
 

(10)

Determinati i parametri q, r e s è pertanto immediato verificare con la (10) se  e se il corrispondente valore di K₂, cioè , è pure compreso tra 0 e 1. 
In caso affermativo  è la soluzione ottima del problema. 
Altrimenti, la soluzione è di frontiera  oppure  come indicato in Fig.4.
Naturalmente, la soluzione così trovata è soltanto una soluzione subottima a causa delle approssimazioni introdotte.
Nel caso si voglia una soluzione più vicina all'ottimo, sarà necessario eseguire più simulazioni, ad esempio determinando più punti P_i con i quali meglio approssimare la curva K₂=f (K₁).