IL MODELLO:

Dalle informazioni disponibili segue che la dinamica della reazione biochimica è descritta dal seguente sistema autonomo del secondo ordine:
 
 

(1)

(2)

INTERPRETAZIONE DEGLI ESPERIMENTI:
E' noto che un sistema del secondo ordine può ammettere cicli limite e che tali cicli possono apparire e sparire fondamentalmente in tre modi diversi descritti, rispettivamente, da biforcazioni omocline, tangenti e Hopf. 
Nel caso di biforcazioni omocline il ciclo sparisce per collisione con una sella e quindi il suo periodo aumenta indefinitamente all'avvicinarsi della biforcazione. 
Poichè nessun ciclo individuato sperimentalmente ha periodo molto elevato, è plausibile che il sistema (1, 2) non abbia biforcazioni omocline. Le congetture che si possono formulare sono quindi l'esistenza di biforcazioni tangenti di cicli (collisioni di cicli limite stabili e instabili) e/o quella di biforcazioni di Hopf (collisione di un ciclo evanescente e di un fuoco).
La Fig.1 illustra le quattro ipotesi più plausibili:
 
 

(a)	2 Hopf non catastrofiche (supercritiche):
(b)	2 tangenti di cicli: T1, T2
(c)	1 Hopf non catastrofica (supercritica):
	1 Hopf catastrofica (subcritica): H2s
	1 tangente di cicli: T
(d)	2 Hopf catastrofiche (subcritiche): H1s ,
	2 tangenti di cicli: T1, T2

 Si può notare che nel caso (a) si ha un unico attrattore (equilibrio o ciclo) per tutti i valori di v, mentre negli altri tre casi per certi valori del parametro v si hanno due attrattori. Si può pertanto propendere a favore della prima ipotesi, perchè l'esistenza di attrattori multipli avrebbe reso i risultati degli esperimenti dipendenti dalle condizioni iniziali, un fatto che sarebbe certamente stato notato o che avrebbe reso impossibile l'interpretazione dei risultati. Il problema consiste quindi nel verificare che il modello (1,2) ha, al variare di v, due biforcazioni di Hopf supercritiche.
 
 

Fig. 1:Quattro ipotesi sui cicli e sugli equilibri stabili (____) e instabili(....) del  sistema (1,2) al variare del parametro v

EQUILIBRI E BIFORCAZIONI DI HOPF:
Annullando  e  nelle (1,2) e sommando le due equazioni, dopo aver moltiplicato la prima per e, si ottiene:
 

Dalla (1) con

si ottiene allora:

che può essere scritta nella forma:
 

con
 
 
 

Piochè

e

si ha:

ma dato che  vL>>A  si può concludere che esiste un unico stato di equilibrio positivo, approssimativamente dato da :
 

L'unicità dello stato di equilibrio (positivo) esclude la possibilità di biforcazioni omocline che necessiterebbero l'esistenza di due stati di equilibrio. Ciò conferma quanto ipotizzato nel paragrafo precedente.La stabilità dell'equilibrio si può studiare calcolando gli autovalori dello Jacobiano e la presenza di eventuali biforcazioni di Hopf è rivelata dall'annullamento della parte reale di una coppia di autovalori complessi coniugati dello Jacobiano. In pratica, questi calcoli non sono eseguibili analiticamente in questo caso, per cui è necessario ricorrere ad un package che esegua automaticamente la linearizzazione e calcoli gli autovalori dello Jacobiano. Così facendo si può constatare facilmente che gli autovalori dello Jacobiano sono complessi e che la loro parte reale è negativa per bassi e per alti valori di v e positiva per valori intermedi. Ciò permette di eliminare il caso (b) di Fig.1 come caso possibile. Per individuare in quale dei tre rimanenti casi ci si trova si dovrebbe calcolare il cosiddetto "numero di Liapunov" della biforcazione di Hopf, il cui segno permette di dire se la biforcazione è subcritica o supercritica. Per sciogliere l'enigma si può pensare, molto più semplicemente, di eseguire alcune simulazioni, per valori crescenti del parametro v, a partire dallo stato iniziale
 

che è comunque vicino all'equilibrio. 
Nel caso di biforcazioni supercritiche i passaggi da equilibrio a ciclo e da ciclo a equilibrio dovrebbero avvenire con continuità: le simulazioni dovrebbero quindi evidenziare cicli di ampiezza crescente ai valori bassi di v e di ampiezza decrescente agli alti valori di v. Nel caso, invece, di biforcazioni subcritiche le simulazioni dovrebbero evidenziare una nascita o una sparizione brusca del ciclo perchè la biforcazione subcritica è catastrofica.

SIMULAZIONI:
La Fig.2 riporta i cicli limite ottenuti simulando il sistema (1,2) per diversi valori del flusso di alimentazione. Questi cicli mostrano con chiarezza che le biforcazioni di Hopf sono supercritiche, come congetturato all'inizio. Si può pertanto concludere che il comportamento asintotico del modello (1,2) è ben descritto dalla Fig.1a.
 
 
 

Fig. 2: Cicli limite stabili ottenuti per simulazione per diversi valori del flusso di alimentazione v. A sinistra cicli che aumentano in ampiezza all'aumentare di v, a destra cicli evanescenti al crescere di v

I punti riportati sui cicli di Fig.2 marcano istanti di tempo tra loro intervallati di 10[s]. Si può così constatare che il modello spiega anche la diminuzione del periodo con il flusso di alimentazione, proprietà notata dagli sperimentatori.