IL MODELLO:
Indicati con x₁(t) e x₂(t) il numero di suscettibili e infetti all'istante t e supponendo che il numero di persone che diventano infette tra l'istante t e l'istante (t+Dt) sia proporzionale, secondo un coefficiente a, al prodotto x₁(t)x₂(t) e al tempo Dt, si può scrivere:
 

x1(t+Dt)=x1(t)-ax1(t)x2(t)Dt

(1)

Analogamente, supponendo che il numero di infetti che diventano immuni tra l'istante t e l'istante (t+Dt)sia proporzionale, secondo un coefficienteb, al numero di infetti x₂(t) e al tempo Dt, si può scrivere:
 

x2(t+Dt)=x2(t)+ax1(t)x2(t)Dt-bx2(t)Dt

(2)

Per Dt -->0 le (1,2) diventano:
 

	(3)
	(4)

che sono le equazioni di stato di un sistema non lineare del secondo ordine.
 

Il sistema (3,4) è un sistema autonomo positivo perchèimplica. 
Il comportamento del sistema va quindi studiato soltanto nel primo quadrante dello spazio di stato (x₁,x₂).
Il sistema ha come stati di equilibrio tutti i punti dell'asse x₁ (popolazione costituita esclusivamente da suscettibili).
L'isoclina  è data dagli assi coordinati, mentre l'isoclina  è data dall'asse x₁ e dalla retta verticale di equazione x₁=b/a.
Lo Jacobiano del sistema valutato nell'equilibrio  è:
 

Gli autovalori dello Jacobiano sono l₁=0 e.
Pertanto, per  (cioè a destra dell'isoclina ) il sistema linearizzato ha un autovalore positivo (instabilità forte) e quindi l'equilibrio () è instabile.
Per  il sistema linearizzato è invece semplicemente stabile per cui il metodo della linearizzazione non permette di trarre conclusioni sulla stabilità dell'equilibrio (). In realtà, l'analisi del segno di  e  nell'intorno di () permette immediatamente di concludere che () è semplicemente stabile come mostrato in Fig.1.
 

Fig. 1: Quadro delle traiettorie del sistema (3,4)

Le traiettorie di Fig.1 evidenziano che l'epidemia si innesca soltanto se x₁(0)>b/a e che il numero di infetti è massimo quando il numero di suscettibili è pari a b/a.
 

TARATURA DEL MODELLO: 
Per determinare completamente il modello (3,4) dell'epidemia si devono valutare i parametri a e b.

Stima di b
In assenza di suscettibili (x₁=0), gli infetti decrescono esponenzialmente:
 

perché

.

Pertanto, il periodo medio di incubazione T è dato da:
  e quindi b è immediatamente calcolabile da T (che è assegnato).

Stima di a
Il numero di denunce d(t) rappresenta il numero di individui che da infetti diventano immuni nel giorno t, per cui:
 

Il numero di denunce d(t) può quindi essere trasformato in numero di infetti x₂(t)=Td(t). In particolare è quindi noto lo stato iniziale del sistema:
 

Fissato a, è pertanto possibile calcolare, con un opportuno package di simulazione, l'evoluzione di x₁(t) e x₂(t) a partire da queste condizioni iniziali e confrontare i valori così calcolati di x₂(t) nei giorni t=7,10,11,12 con i dati Td(t) relativi agli stessi giorni. 
Se i valori calcolati risultano errati, a deve essere corretto e la simulazione ripetuta e così si deve procedere finchè si trovi un valore di a soddisfacente. 
Per quanto riguarda la correzione da apportare ad a, si può notare che  aumenta con a per cui ad errori per difetto di x₂(t) devono corrispondere incrementi di a.

Stima dei costi di vaccinazione
Indicato con nv il numero di vaccinati, il costo della campagna di vaccinazione risulta essere:
 

(5)

Il parametro K è facilmente stimabile dato che si conoscono c_s e il valore CV* di CV per un numero di vaccinati pari a .

MINIMIZZAZIONE DEL COSTO SOCIALE:
Immaginando che la campagna di vaccinazione possa essere eseguita con grande tempismo immediatamente dopo aver preso la decisione al giorno t=12 e considerando questo istante come nuovo istante iniziale t=0, abbiamo:
 

x1(0)=N-Td(12)-nv	(6)
x2(0)=Td(12)	(7)

Simulando il sistema (3,4) con queste condizioni iniziali si determina l'evoluzione dell'epidemia conseguente ad un numero di vaccinati pari a n_v. In particolare si può determinare:
 

che dipende da n_v (mentre, vedi Fig.1).

Il costo di mancata produzione è dato da:
 

(8)

Poichè integrando le (3,4) tra 0 e  si ha
 

si può scrivere
 
 

per cui dalle (6,7,8) si ottiene:
 
 

Alternativamente, se il software usato permette di simulare sistemi del terzo ordine, si può calcolare CMP aggiungendo al sistema (3,4) una terza variabile di stato x₃ con equazione di stato:
 

e condizioni iniziali x₃(0) nulle, così che (vedi(8)):

Il costo di vaccinazione CV è invece direttamente calcolabile per mezzo della (5).

In conclusione, il costo sociale:
 

può essere calcolato per diversi valori di n_v e il valore  che minimizza C_soc può quindi essere determinato numericamente con buona approssimazione.
Poichè ogni valutazione di C_soc richiede una simulazione, è bene che i valori n_v in corrispondenza dei quali si valuta C_soc siano scelti con cura in modo da non dover eseguire un numero inutilmente grande di simulazioni.