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FORMULAZIONE:
Si tratta di determinare le due portate q1
e q2 che devono fluire attraverso ciascuna macchina per massimizzare
la potenza prodotta. La produzione di ciascuna macchina è proporzionale
(secondo un coefficiente k che tiene conto anche del salto utile)
al prodotto della portata che transita attraverso di essa moltiplicata
per il rendimento. Il problema può quindi essere formulato come
segue:
2
max k S
qi ri(ci)
í
qiý
i=1
con i vincoli
q1 + q2
= 100
q1 £50
q2 £
65
q1, q2 ³
0
che rappresenta un programma matematico non lineare
e vincolato.
SOLUZIONE CON I MOLTIPLICATORI
DI LAGRANGE:
Per risolvere questo problema utilizzeremo il metodo
dei moltiplicatori di Lagrange (che si riferisce al caso di soli vincoli
di uguaglianza) nel modo seguente:
- risolviamo dapprima il problema con il solo
vincolo di uguaglianza. Se i vincoli di disuguaglianza sono soddisfatti
dalla soluzione così ottenuta, siamo pervenuti alla soluzione
ottima. Se ciò non si verifica, significa che almeno uno dei
vincoli di disuguaglianza è "attivo" cioè è verificato
come uguaglianza.
- trasformiamo quindi uno dei vincoli di disuguaglianza
in uguaglianza e torniamo al punto precedente.
- iterando questi passi per tutte le possibili
combinazioni di vincoli di disuguaglianza attivi si perviene alla
determinazione della soluzione ottima oppure si deduce che non esistono
soluzioni ammissibili.
Risolviamo dunque il problema seguente (il coefficiente
k non influenza i valori ottimi delle variabili di decisione ed
è quindi stato trascurato nel seguito):
2
max k S
qi ri(ci)
í
qiý
i=1
con
q1 + q2
= 100.
La Lagrangiana è quindi
L(qi) = q1(-2.1c21+4c1-0.93)
+ q2(-2.8c22+4c2-0.7)+
l (100-q1-q2)
le cui derivate rispetto alle variabili di decisione
e al moltiplicatore l
devono essere uguali a zero, cioè
-.0025 q21 +
.16 q1-
.93 -
l =0
-.002 q22 + .12 q2
- .7 - l = 0
100 - q1- q2
= 0
La soluzione di questo sistema di tre equazioni in
tre incognite è:
q1 = 53,
q2=47; l=
0.53
che quindi viola il vincolo sulla capacità massima
della prima turbina. Introduciamo dunque questo vincolo nel problema con
il segno di uguaglianza e risolviamo nuovamente il problema.
La nuova Lagrangiana L’ sarà
L’(qi) = q1(-2.1c21+4c1-0.93)
+ q2(-2.8c22+4c2-0.7)+
l1(100-q1-q2)
+ l2(50
– q1)
in cui compaiono due moltiplicatori l1
e l2.
Derivando e uguagliando a zero, si ottiene un sistema algebrico di quattro
equazioni in quattro incognite che risolto fornisce la soluzione
q1 = q2 =
50 l1=0.29
l2=0.5
Dato che questa soluzione soddisfa i rimanenti vincoli
di disuguaglianza essa rappresenta la soluzione ottima del problema. La
dimostrazione che il punto di stazionarietà trovato è un
punto di massimo va fatta analizzando i segni delle derivate seconde ed
è lasciata al lettore.
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