soluzione laghi in cascata

Se si indicano con L₁ e L₂ le superfici del due laghi e con x₁ e x₂ i corrispondenti livelli, per il principio di conservazione della massa si ottiene

Le portate y₁(t) e y₂(t) non sono tuttavia variabili indipendenti: esse sono in effetti univocamente legate ai livelli x₁ e x₂ secondo una legge (in generale non lineare) che dipende dalla conformazione dell'emissario. In altre parole, si ha

Il modello è quindi costituito da un sistema non lineare del secondo ordine con un ingresso (u₁) ed una uscita (y₂). Come prima cosa determiniamo stato ed uscita di equilibrio corrispondenti ad una portata di alimentazione costante u₁. Poiché all'equilibrio deve essere

si ottiene:

che è un sistema di due equazioni in due incognite facilmente risolubili. Se le scale di deflusso sono assegnate e graficamente il procedimento è immediato: si riporta u₁ sull'asse delle portate delle scale di deflusso e si leggono i livelli x₁ e x₂ corrispondenti.

E' ora importante chiedersi se sia ragionevole linearizzare il sistema nell’intorno di uno stato di equilibrio oppure no. In altre parole è importante fare l’analisi del sistema linearizzato e verificare se si è in uno dei casi critici (casi in cui non mi può dedurre nessuna proprietà del sistema dall’analisi del sistema linearizzato). Per questo si ricorda che in un sistema del tipo

dove

sono le variazioni dell'ingresso, dello stato e dell’uscita rispetto ai valori di equilibrio. Nel caso in esame dalle (3) si ottiene

Poiché questi autovalori sono negativi il sistema linearizzato è asintoticamente stabile. Non siamo cioè in un caso critico e l'asintotica stabilità del sistema linearizzato permette di concludere che lo stato di equilibrio (x₁, x₂) corrispondente all'ingresso costante u, è asintoticamente stabile. Ciò è d’altra parte in pieno accordo con l’intuizione fisica che afferma che variando di poco il livello dei due laghi (prelevando o immettendo nel laghi stessi una piccola quantità d’acqua) si ottengono movimenti perturbati che tornano nelle condizioni di equilibrio (x₁, x₂).

E’ ora possibile eseguire una rapida analisi di raggiungibilità ed osservabilità. Per quanto riguarda la raggiungibilità si ha

che è di rango massimo. Il sistema è, quindi, completamente raggiungibile e ciò significa che (nell’ambito della validità della linearizzazione) è possibile portare i due laghi ad un voluto livello (

) pur di agire opportunamente sull’ingresso, cosa che è in linea di principio possibile sfruttando la regolazione del bacino artificiale. Per quanto riguarda l'osservabilità si ha

che è anch'essa di rango massimo. Il sistema è, quindi, completamente osservabile e ciò implica (sempre nell’ambito della validità della linearizzazione) che è possibile risalire al valore dello stato (x₁, x₂)(cioè ai livelli dei due laghi) elaborando opportunamente le misure effettuate sulle sole portate u₁(t) e y₂(t) (naturalmente non stupisce che da y₂(t) si possa determinare x₂(t) poiché

Poiché il sistema linearizzato è completamente raggiungibile e osservabile la funzione di trasferimento G(s) avrà denominatore di secondo grado. Risulta, infatti,

Ovviamente, la funzione di trasferimento G(s) è il prodotto delle due funzioni di trasferimento G₁(s) e G₂(s) che rappresenta i due laghi in cascata (vedi figura).

Dalle espressioni delle costanti di tempo si nota che a grandi laghi corrispondono (a parità di scale di deflusso) grandi costanti di tempo (ad esempio una decina di giorni per il lago di Como e per il lago Maggiore e qualche giorno per i laghi della Brianza). Laghi con scala di deflusso molto ripida (g’ grande), cioè laghi con emissario tale che a piccole variazioni di livello corrispondano grandi variazioni di portata, sono caratterizzati da piccole costanti di tempo. In ultima analisi, quindi, un lago esercita una funzione filtrante sulle variazioni della portata di ingresso (si ricordi che la “costante di tempo”

è il più semplice filtro passa basso): variazioni lente (nel tempo) della portata di ingresso si ritrovano sulla portata di uscita mentre variazioni rapide (rispetto alla costante di tempo) vengono attenuate.

Il primo problema posto è quello del calcolo del transitorio di uscita corrispondente alla rottura della diga che chiude il bacino di raccolta. A questo evento corrisponde ovviamente una brusca variazione della portata di ingresso u₁ dal valore nominale u₁ come mostrato in figura.

è, quindi, schematizzabile con un impulso di area opportuna dU (si pensi che la durata del fenomeno è di pochi minuti) e, pertanto, il problema posto può essere risolto calcolando la risposta all’impulso del sistema, cioè

e moltiplicandola per l'ampiezza dU dell’impulso ottenendo così dy₂. Un calcolo approssimata di tale funzione può essere fatto ricordando che la risposta all’impulso è l'antitrasformata della funzione di trasferimento G(s). Si ottiene, pertanto,

e da queste tre condizioni si ricava che l'oscillogramma della variazione della portata di uscita dy₂è del tipo di quello mostrato in figura.

Il secondo problema posto è quello del calcolo della portata di uscita

dalla portata di ingresso

supposta diversa dal valore “nominale” u₁ per effetto delle precipitazioni. Supponendo, al solito, che si possa far uso del modello linearizzato (piccole variazioni attorno all’equilibrio) si ha

Questa formula si semplifica se si suppone che all’istante iniziale la stato del sistema sia lo stato di equilibrio (x₁, x₂) perché allora,

e, quindi,

Come caso particolare di un certo interesse si consideri quello in cui

è costante e diverso da zero soltanto in un intervallo di tempoT^* come mostrato in figura

e cioè dy₂(t) è proporzionale secondo il coefficiente dU₁ all’area sottesa della risposta all’impulso del sistema nell’intervallo [t—T^*, t] come mostrato in figura

Nel caso

l’uscita dy₂(t) può anche essere calcolata antitrasformando la funzione

Questo metodo non è però vantaggioso rispetto a quello precedentemente esposto perché richiede la trasformazione

e l’antitrasformazione

Terzo problema qui analizzato è quello dell’effetto che lo scioglimento delle nevi. ha sulla portata di uscita del secondo lago. In periodo di scioglimento delle nevi la portata di alimentazione risulta periodicamente variabile con periodo T=1 [giorno], cioè u₁(t)=u₁(t+T) "t. A tale funzione periodica di ingresso corrisponde un’unica funzione periodica di uscita (questo risultato è scontato dal punto di vista intuitivo); nell’ipotesi che la portata di ingresso u₁(t)sia, in prima approssimazione di tipo sinusoidale, e cioè

è allora interessante calcolare l'ampiezza dY₂ della corrispondente sinusoide dy₂(×) (che dy₂(×) sia una sinusoide è vero soltanto nel caso in cui sia lecito descrivere il fenomeno dinamico in esame per mezzo del sistema linearizzato). Il calcolo di dY₂può essere effettuato facendo ricorso al concetto di “risposta in frequenza” che afferma che il rapporto tra le ampiezze delle sinusoidi in uscita e in ingresso è pari al modulo della funzione di trasferimento valutata per s=iw. Nel caso in esame si ha allora

I laghi operano cioè come veri e propri filtri passa basso e la variazione giornaliera di portata di alimentazione non dà praticamente alcun effetto sulla portata dell’ultimo emissario. Un calcolo approssimato dell’attenuazione introdotta dal sistema si può eseguire per mezzo del semplice diagramma di Bode riportato in figura.

Dal diagramma si vede come la banda passante del sistema coincida con l’inverso della più grande costante di tempo. Variazioni periodiche dell’ingresso corrispondenti a pulsazioni w<1/T₁ si ritrovano inalterate all’uscita del sistema, mentre le variazioni a frequenza più elevata vengono attenuate (filtrate).