La stabilità è certamente la proprietà più studiata dei sistemi dinamici. Come vedremo, essa permette di caratterizzare il comportamento asintotico () del sistema, fatto estremamente importante nelle applicazioni.

Un sistema lineare è asintoticamente stabile se e solo se il suo movimento libero tende a zero per  qualunque sia lo stato iniziale. Se, invece, il movimento libero è limitato ma non tende a zero per qualche stato iniziale, il sistema si dice semplicemente stabile. Infine, se il movimento libero è illimitato per qualche stato iniziale il sistema è instabile.

Sulla base di questa definizione è immediato constatare che i due sistemi discussi nei primi due esempi (legge di Newton e allevamento di Fibonacci) sono entrambi instabili. Il primo è, tuttavia, un sistema debolmente instabile perché il movimento libero pur essendo illimitato cresce nel tempo con legge polinomiale (nel caso specifico linearmente). Il secondo è invece un sistema fortemente instabile perché il movimento libero cresce con legge più che polinomiale (nel caso specifico geometrica).

Dalla Definizione 2 segue immediatamente che un sistema è asintoticamente stabile se e solo se

cioé se e solo se tutti gli elementi della sua matrice di transizione tendono a zero per . I sistemi a memoria finita sono, pertanto, asintoticamente stabili.

La proprietà più importante (facile da dimostrare) dei sistemi asintoticamente stabili, a volte usata come definizione alternativa di asintotica stabilità, è la seguente.

 

Un sistema è asintoticamente stabile se e solo se per ogni ingresso  esiste un solo stato di equilibrio  verso cui tende lo stato del sistema per qualsiasi x(0) se .

A conferma di questo teorema, notiamo che nel sistema instabile che intepreta la legge di Newton abbiamo per  infiniti stati di equilibrio , mentre nel sistema di Fibonacci lo stato di equilibrio   è unico ma x(t) non tende a  per .