è possibile trasformare il sistema assegnato (A,b,c^T,d) in un sistema equivalente (,Tjb,,d) in cui la matrice  è la matrice di Jordan A_j. Il movimento libero del sistema è allora descritto dalle equazioni

nel caso il sistema sia a tempo continuo, e dalle equazioni

se il tempo è discreto. Il vantaggio di questa trasformazione è che, a causa della struttura della matrice A_j, il sistema risulta scomposto in tanti sottosistemi tra loro non interagenti, uno per ogni miniblocco di Jordan

dove l_i è l'i-esimo autovalore distinto della matrice A e  ha dimensioni  con  minore o uguale alla molteplicità dell'autovalore l_inel polinomio minimo y_A(l). Nel caso di sistemi a tempo continuo, la matrice di transizione di ognuno di questi sottosistemi è allora

e contiene, quindi, termini del tipo  con k minore della molteplicità dell'autovalore l_inel polinomio minimo y_A(l). Poiché  tende a zero per  se e solo se la parte reale di l_iè negativa, segue che un sistema a tempo continuo è asintoticamente stabile se e solo se tutti gli autovalori di A hanno parte reale negativa. Se esistono autovalori con parte reale positiva, alcuni termini della matrice di transizione sono illimitati e crescono con legge esponenziale (k=0) o più che esponenziale (). È questo il caso dell'instabilità forte. Nei casi rimanenti, cioè nei casi in cui esistono autovalori nulli o immaginari, ma non esistono autovalori con parte reale positiva, si ha semplice stabilità se il termine  è limitato (k=0) e instabilità debole nel caso opposto (). Tenendo conto che k è forzatamente nullo solo nel caso in cui l'autovalore a parte reale nulla è radice semplice del polinomio minimoy_A(l) e osservando che nel caso dei sistemi a tempo discreto l'esponenziale  è sostituito dalla potenza  (che tende a zero se e solo se ) si può riassumere quanto detto con il seguente quadro di condizioni.

 

Un sistema lineare (A,b,cT,d) a tempo continuo [discreto] è   (i) asintoticamente stabile se e solo se (ii) semplicemente stabile se e solo se tutti i  sono radici semplici di yA (iii) debolmente instabile se e solo se  almeno unnon è radice semplice di yA (iv) fortemente instabile se e solo se

Il sistema che rappresenta la legge di Newton (Esempio 1) (che ha la matrice A in forma di Jordan) ha un autovalore nullo che è radice doppia del polinomio minimo. Come già detto, esso è, pertanto, debolmente instabile. Il sistema di Fibonacci (Esempio 2) ha, invece, due autovalori  per cui uno dei due autovalori è maggiore di 1 e il sistema è, quindi, fortemente instabile.

Gli n autovalori della matrice A di un sistema lineare a tempo continuo possono essere raggruppati in tre classi a seconda del segno della loro parte reale: n^- autovalori (detti stabili) hanno parte reale negativa, n⁰ hanno parte reale nulla ( e sono detti critici) e n⁺ hanno parte reale positiva (e sono detti instabili). Ovviamente n=n^-+n⁰+n⁺. I corrispondenti autovettori individuano tre sottospazi invarianti e disgiunti X^-, X⁰ e X⁺ di dimensioni n^-, n⁰ e n⁺. Stati iniziali nel sottospazio X^- danno luogo a movimenti liberi che tendono a zero, mentre stati iniziali nel sottospazio X⁺ danno luogo a movimenti illimitati. Per questo motivo, questi due sottospazi si chiamano, rispettivamente, varietà stabile e varietà instabile. Il sottospazio X⁰ si chiama, invece, varietà centro: i movimenti liberi corrispondenti a stati iniziali appartenenti a X⁰ danno luogo a traiettorie limitate che restano in X⁰ ma non tendono a zero. Sistemi senza varietà centro (cioè senza autovalori critici) si chiamano iperbolici e sono distinti in attrattori (X^-=Rⁿ), selle ( ) e repulsori (X⁺=Rⁿ). Sistemi con varietà centro si chiamano, invece, non iperbolici. In Fig. 9 sono mostrate le traiettorie corrispondenti al movimento libero di otto diversi sistemi del secondo ordine a tempo continuo. In ogni figura sono mostrati anche i due autovalori del sistema. I primi cinque sistemi (fuoco stabile, nodo stabile, fuoco instabile, nodo instabile, sella) sono iperbolici e gli ultimi tre non iperbolici. L'ultimo sistema (autovalori immaginari) si chiama centro e giustifica il termine "varietà centro".
 

Figura 9 Traiettorie corrispondenti al movimento libero di sistemi del secondo ordine a tempo continuo: (a) (fuoco stabile) e  (b) (nodo stabile) sono attrattori; (c) (fuoco instabile) e (d) (nodo instabile) sono repulsori; (e) è una sella; (f), (g) e (h) (centro) sono sistemi con varietà centro X0. Le traiettorie rettilinee corrispondono ad autovettori associati ad autovalori reali. La doppia freccia indica parti delle traiettorie percorse più rapidamente.

Il vantaggio della scomposizione dello spazio di stato Rⁿ nella somma diretta dei tre sottospazi X^-, X⁰ e X⁺ è particolarmente utile per visualizzare la geometria del movimento libero, in particolare in sistemi del terzo ordine, come le due selle mostrate in Fig. 10.
 

Figura 10 Due selle del terzo ordine: (a) n-=1, n+=2; (b) n-=2, n+=1

Naturalmente, quanto detto per i sistemi a tempo continuo vale anche per quelli a tempo discreto, pur di discriminare tra autovalori stabili (), critici () e instabili ().