Il movimento libero  di un sistema lineare è completamente individuato dalla matrice di transizione

Tenendo presente quanto detto su autovettori, autovalori e forma di Jordan di A, si può concludere che, nel caso di autovalori reali e distinti, il movimento libero è del tipo

dove x⁽ⁱ⁾, i=1,…,n sono gli autovettori di A (che soddisfano la relazione Ax⁽ⁱ⁾=lⁱx⁽ⁱ⁾e ci sono le componenti dello stato iniziale x(0) nella base individuata dagli n autovettori (). Naturalmente per condizioni iniziali particolari qualche ci può risultare nullo, ma per condizioni iniziali generiche tutti i ci sono diversi da zero e il movimento libero è la somma pesata di n esponenziali a tempo continuo o discreto. Al passare del tempo una di queste esponenziali domina per forza tutte le altre perché per t grande  [] se  [] e ciò accade sia nel caso di asintotica stabilità () che nel caso di semplice stabilità o instabilità. L'autovalore e l'autovettore corrispondenti a questa esponenziale sono chiamati dominanti. L'autovalore dominante l_dom è chiaramente l'autovalore massimo nel caso dei sistemi a tempo continuo e l'autovalore a massimo modulo nel caso dei sistemi a tempo discreto. La Fig. 9 riporta ben cinque casi ((b), (d), (e), (f), (g)) di sistemi a tempo continuo con autovalori reali e mostra come per  tutte le traiettorie generiche tendano ad allinearsi con l'autovettore dominante. Questa proprietà è molto importante e va spesso tenuta presente per caratterizzare il comportamento asintotico di un sistema lineare. Il movimento libero è, quindi, approssimabile sui tempi lunghi con una semplice esponenziale

e se il sistema è asintoticamente stabile l'esponenziale tende a zero. In questi casi è consuetudine scrivere l'esponenziale (sia a tempo continuo che a tempo discreto) nella forma  dove  è la cosiddetta costante di tempo dominante, legata all'autovalore dominante dalla relazione

È poi prassi comune nelle applicazioni ritenere che l'esponenziale sia "praticamente" esaurita dopo un periodo di tempo pari a cinque volte la costante di tempo T_dom.
Se gli autovalori di A, pur essendo distinti, non sono tutti reali, il movimento libero è anche caratterizzato da termini del tipo el^t e l^t con l complesso. Nel caso di tempo continuo tali termini corrispondono a funzioni sinusoidali modulate esponenzialmente  dove a è la parte reale dell'autovalore e b la parte immaginaria. Ne segue che il termine dominante del movimento libero risulta essere quello associato all'autovalore reale o alla coppia di auovalori complessi coniugati con massima parte reale. In conclusione, quindi, sui tempi lunghi il movimento libero è approssimabile con quello di un sistema del primo ordine con autovalore pari a quello dominante o con quello di un sistema del secondo ordine con autovalori complessi uguali a quelli dominanti. Nel primo caso il movimento libero è del tipo esponenziale, mentre nel secondo caso è una sinusoide di ampiezza variabile esponenzialmente. Naturalmente, nel caso di sistemi a tempo continuo asintoticamente stabili la costante di tempo dominante è data da

Infine se gli autovalori di A sono multipli, il movimento libero può anche contenere termini del tipo t^ke^lt [t^kl^t] nel caso di sistemi a tempo continuo [discreto]; ciò non modifica tuttavia le conclusioni già tratte, perché il movimento libero continua ad essere dominato dal termine associato all'autovalore reale o alla coppia di autovalori complessi coniugati con massima parte reale [massimo modulo].