È noto che in alcuni sistemi, come, ad esempio, quelli elettrici e meccanici, è possibile definire una funzione di stato , detta energia, che ha la proprietà di essere quadratica e non negativa e di decrescere nel tempo (tendendo a zero) qualora il sistema sia asintoticamente stabile ed evolva liberamente. Queste proprietà, approfondite dal matematico russo Alexander Liapunov (ormai più di un secolo fa), permettono di analizzare il problema della stabilità di tutti i sistemi lineari in modo estremamente sintetico ed elegante.

Per presentare questa tematica premettiamo la definizione di matrice definita positiva e alcune semplici considerazioni. Innanzitutto diciamo che una funzione  con  si dice quadratica se

con P matrice . Ciò significa che  è una somma pesata di tutti i prodotti . Poiché il peso del termine  è () non è limitante supporre che la matrice P sia simmetrica. Inoltre, una matrice P si dice definita positiva se la forma quadratica  ad essa associata è positiva per tutti i vettori . Per sapere se un'assegnata matrice P è definita positiva si può applicare il seguente criterio.

 

Condizione necessaria e sufficiente perchè una matrice simmetrica P sia definita positiva è che siano positivi tutti i suoi primi minori principali , cioè

Da quanto detto è evidente che ogni matrice P definita positiva induce una metrica nello spazio Rⁿ nel senso che  può essere interpretato come la distanza del punto x dall'origine. In questa metrica, i punti x equidistanti dall'origine stanno su varietà di equazione , che in R² sono ellissi.

Associamo allora ad un sistema lineare autonomo a tempo continuo  una matrice definita positiva P. La "distanza" dello stato x(t) dall'origine è, pertanto,  e tale distanza varia nel tempo poiché x dipende da t. Più precisamente

per cui la distanza di x(t) dall'origine continuerà a diminuire nel tempo () se la matrice  è definita positiva, cioè se è soddisfatta la cosiddetta equazione di Liapunov

con Q definita positiva. Ovviamente, se tale equazione è soddisfatta il sistema è asintoticamente stabile perché il movimento libero del sistema tende asintoticamente a zero dato che  per .
Nel caso dei sistemi a tempo discreto  si deve, invece, determinare la variazione DV della distanza V

per cui l'equazione di Liapunov a tempo discreto è

   (26)

In conclusione, se un sistema lineare a tempo continuo [discreto] soddisfa l'equazione di Liapunov (25) [(26)] con P e Q definite positive il sistema è asintoticamente stabile e la funzione , detta funzione di Liapunov, ha le proprietà della funzione energia, cioè è positiva e decrescente nel tempo per . Ciò non significa naturalmente che in un sistema autonomo asintoticamente stabile, in cui, quindi x(t) tende a 0 per , qualsiasi funzione quadratica  con P definita positiva, decresce sistematicamente nel tempo anche se V tende a 0 per . Questo fatto è illustrato in Fig. 11 per un sistema del secondo ordine a tempo continuo (fuoco stabile). In tale sistema  è definita positiva, ma  è in alcuni punti positiva e in altri negativa per cui V tende a 0 per  ma non monotonicamente.
 

Figura 11 Sistema autonomo asintoticamente stabile del secondo ordine (fuoco stabile): (a) traiettoria (_____) e linee di livello (.......) della funzione ; (b) andamento di V nel tempo

Quanto detto è riassunto e ulteriormente precisato nel seguente teorema.

 

Un sistema lineare (A,-,-) a tempo continuo [discreto] è asintoticamente stabile se e solo se esiste una funzione quadratica  con P definita positiva che sia strettamente decrescente nel tempo (cioé tale che  [DV]<0) qualora il sistema evolva per moto libero da uno stato iniziale . Inoltre, tale funzione esiste se e solo se l'equazione di Liapunov (25) [(26)] ammette una soluzione (P,Q) con P e Q definite positive. Infine, se una tale soluzione (P,Q) esiste ne esistono infinite, una per ogni matrice Q definita positiva.

Si noti che il teorema di Liapunov non afferma né richiede alcunché sulla struttura della matrice P. Non raro è, tuttavia, il caso in cui P è diagonale, cioè il caso in cui la funzione di Liapunov V(x) non contiene termini misti x_ix_j con  (di questo tipo è, ad esempio, la funzione energia delle reti elettriche). Quando ciò accade, cioé quando l'equazione di Liapunov ammette una soluzione (P,Q) con P e Q definite positive e con P diagonale, il sistema, oltre a essere asintoticamente stabile, rimane tale per qualsiasi perturbazione strutturale (teorema di Arrow-McManus). Ciò significa che se esiste una matrice P diagonale con p_ij>0,  i=1,...,n  tale che la matrice  sia definita positiva, non solo è asintoticamente stabile il sistema  ma anche qualsiasi sistema del tipo  con D diagonale e . In altre parole, il sistema  è asintoticamnete stabile e rimane tale sotto l'effetto di qualsiasi perturbazione che abbia come conseguenza la moltiplicazione di ogni sua equazione di stato per una costante positiva e arbitraria.