Il movimento  di un sistema lineare è dato da

cioè da somma di movimento libero e di movimento forzato. Il movimento forzato

rappresenta, quindi, al variare della funzione d'ingresso u[o,t)(.), l'insieme Xr(t) di tuttti gli stati raggiungibili all'istante t a partire dall'origine dello spazio di stato. Evidentemente tale insieme Xr(t) è un sottospazio che gode della proprietà

Inoltre, si può mostrare che Xr(t) smette di crescere a partire da un certo istante , cioè Xr(t)= Xr per . Infine, se Xr(t)=Rn si dice che il sistema è completamente raggiungibile. Vale, a questo proposito, il seguente teorema, noto come teorema di Kalman.


 
In un sistema lineare (A,b) di ordine n il sottospazio di raggiungiblità Xr(t) è individuato dagli dagli n vettori , detti vettori di raggiungibilità. Il sistema è, pertanto, completamente raggiungibile se e solo se questi n vettori sono linearmente indipendenti. Inoltre, ogni stato appartenente a Xr(t) è raggiungibile dall'origine in un tempo qualsiasi se il sistema è a tempo continuo e in al più n transizioni se il sistema è a tempo discreto.
Spesso questo teorema è formulato facendo riferimento alla matrice di raggiungibilità (detta anche matrice di Kalman)

Tale matrice è quadrata (di dimensione ) e per quanto detto risulta

Xr(t)=T[R]

e la completa raggiungibilità del sistema è equivalente alla non singolarità di R (cioè all'esistenza di R-1).

 

È opportuno notare che tutti i sistemi con A=Ac, b=bc, dove

cioé tutti i sistemi in forma canonica di controllo (si veda il terzo paragrafo) sono completamente raggiungibili. È infatti immediato verificare che la matrice di Kalman

è sempre non singolare e che



Ma ciò che spiega l'interesse per questa forma canonica è il seguente teorema.


 
Un sistema (A,b) completamente raggiungibile può essere messo in forma canonica di controllo per mezzo di una opportuna trasformazione di coordinate, per la precisione z=RcR-1x, dove R e Rc sono le matrici di raggiungibilità di (A,b) e (Ac,bc).
Ciò significa che un qualsiasi sistema (A,b) può essere immaginato in forma canonica di controllo pur di aver verificato che esso sia completamente raggiungibile. Inoltre, la forma canonica di controllo (Ac,bc), qualora sia esplicitamente richiesta, può essere determinata calcolando (ad esempio, per mezzo della formula di Souriau) i coefficienti ai.
L'importanza della completa raggiungibilità di un sistema assegnato si rivela pienamente qualora si cerchi di modificare la dinamica di questo sistema asservendo il suo ingresso u(t) al suo stato x(t) per mezzo di una retroazione

nota come legge di controllo (algebrica e lineare). La Fig. 13 illustra il sistema risultante, detto anche sistema controllato, che ha v(t) come nuovo ingresso.
 

Figura 13 Sistema controllato costituito dal sistema (A,b)
e dal controllore KT

Il blocco in retroazione, spesso detto controllore, realizza la semplice operazione di somma pesata  delle variabili di stato.
Se il sistema (A,b) è a tempo continuo il sistema controllato è descritto dalle equazioni di stato

n altre parole, il sistema (A,b) è stato trasformato, per mezzo del controllore , nel sistema controllato (A+bKT,b). È stata così modificata la dinamica del sistema, perché il polinomio caratteristico si è trasformato da DA(l) a . Ovviamente, le stesse considerazioni valgono per i sistemi a tempo discreto. Ciò premesso è possibile dimostrare, tenendo presente il Teorema 13 sulla forma canonica di controllo, il seguente risultato, che mostra come la completa raggiungibilità sia condizione necessaria e sufficiente per la fissabilità degli autovalori del sistema controllato.


 
Gli autovalori del sistema controllato (A+bKT) possono essere fissati arbitrariamente, per mezzo di un controllore KT, se e solo se il sistema (A,b) è completamente raggiungibile. Detti ai i coefficienti del polinomio caratteristico di A e  quelli desiderati per il polinomio caratteristico di A+bKT (cioè per il sistema controllato) si ha

dove R e Rc sono le matrici di raggiungibilità di (A,b) e (Ac,bc).
Questo teorema dice che la dinamica di un sistema completamente raggiungibile può essere plasmata a piacere asservendo il suo ingresso alle sue variabili di stato. Naturalmente, le conseguenze più spettacolari sono la possibilità di stabilizzare un sistema instabile o di destabilizzarne uno stabile. Poiché la completa raggiungibilità è una proprietà genericamente soddisfatta in un sistema lineare (si ricordi che deve essere det R=0 affinché un sistema non sia completamente raggiungibile) si può capire come lo schema di Fig. 13 sia di grande interesse nelle applicazioni.

 
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