Possiamo ora riprendere e approfondire il tema, già trattato nel Paragrafo B.3, della determinazione del modello ARMA di un assegnato sistema . Ricordiamo per questo che un modello ARMA è individuato da una coppia di polinomi (N(p), D(p)) che identificano univocamente l'equazione (7), la quale, a seconda che il tempo sia discreto o continuo, è l'equazione alle differenze (5) o l'equazione differenziale (6). Ricordiamo anche che il modello ARMA si dice ridotto [non ridotto] se i polinomi N(p) e D(p) sono [non sono] primi tra loro. Inoltre, il rapporto tra i due polinomi N(p) e D(p) è chiamato funzione di trasferimento e indicato con G(p), cioè

Ovviamente, conoscere la funzione di trasferimento G(p) non significa conoscere il modello ARMA (N(p), D(p)), a meno che questo sia ridotto.

Poiché il modello ARMA rappresenta le relazioni intercorrenti tra ingresso e uscita nel caso generale di stato iniziale qualsiasi, esso deve per forza essere associato alle sole parti osservabili (parti (b) e (d)) del sistema, che per chiarezza riportiamo in Fig. 16 estraendole dalla Fig. 15 del paragrafo precedente.
 

Figura 16 Parti osservabili (b) e (d) di un sistema

Per quanto visto nel secondo e terzo paragrafo, il primo dei due sottosistemi (quello che determina la componente y_b dell'uscita) è descritto dal modello ARMA a molti ingressi

Dove D_b(p) è il polinomio caratteristico di A_b e  sono le componenti del vettore di stato z_d(t), che fungono da ingressi. Il secondo sottosistema (quello che determina la componente y_d dell'uscita) è, invece, senza ingressi ed è, quindi, descritto dal modello AR

dove D_b(p) è il polinomio caratteristico di A_d. Inoltre, datto che ogni componente del vettore di stato z_d(t) può essere interpretata come una uscita del secondo sottosistema, deve essere

      (30)

_b(p) e sommando le relazioni così ottenute tenendo presente la (30) e il fatto che , si ottiene

Il modello ARMA del sistema è, quindi, non ridotto perché

e

non sono primi tra loro.

Se, invece, la parte (d) è mancante, cioè se il sistemanon ha parte non raggiungibile e osservabile, allora il modello ARMA

è in forma ridotta perché si può verificare che D_b(p) e Nb(p) sono primi tra loro (essendo la parte (b) completamente raggiungibile e osservabile). Si può così concludere con il seguente teorema.

 

Il modello ARMA (N(p), D(p)) di un sistema  è il modello ARMA del sistema costituito dalle sue parti osservabili ((b) e (d)) e dove  è il modello ARMA della parte raggiungibile e osservabile e  è il polinomio caratteristico della parte non raggiungibile e osservabile (uguale a 1 se tale parte è mancante). Pertanto, il modello ARMA di un sistema è in forma ridotta se e solo se il sistema non ha la parte non raggiungibile e osservabile. Inoltre la funzione di trasferimento G(p)=N(p)/D(p) del sistema è la funzione di trasferimento  della parte raggiungibile e osservabile.

In molti casi di interesse pratico il modello  del sistema non è noto, ma si conoscono una coppia u(^.) e y(^.) di funzioni d'ingresso e uscita rilevata sperimentalmente per un certo periodo di tempo [0,t). È questo, ad esempio, il caso di un bacino idrico del quale siano stati rilevati la precipitazione e il deflusso nel punto di chiusura del bacino per un periodo di qualche mese, o il caso di un amplificatore elettrico di cui siano stati registrati i segnali di ingresso e uscita per qualche secondo. È lecito chiedersi se è possibile, in questi casi, determinare un modello  del sistema elaborando le registrazioni di ingresso e uscita. Questo problema è, in generale, noto come problema dell'identificazione del modello ed è di importanza basilare nelle applicazioni. Per motivi di realismo, esso viene spesso affrontato supponendo che le misure di ingresso e/o di uscita siano affette da rumore a carattere più o meno aleatorio, così che la soluzione del problema richiede nozioni, a volte anche non elementari, di statistica e di teoria dei processi stocastici. Il problema risulta tuttavia concettualmente e operativamente interessante anche nella sua versione più semplice che è quella in cui, oltre all'assenza di rumore, si ipotizzi che il sistema sia lineare, proprio, a tempo discreto e con dimensione n^o=n_b+n_d delle parti osservabili nota. In tale ipotesi, il modello ARMA del sistema è

e può essere scritto nella forma più compatta

       (31)

Se supponiamo, allora, che sia nota una serie temporale di N valori successivi di ingresso e uscita

possiamo scrivere la relazione (31) nelle 2n⁰ incognite a_ie b_i, i=1,…n⁰, per N-n⁰ valori successivi di t, precisamente per . Ciò porta al seguente sistema di N-n⁰ equazioni in 2n⁰ incognite

Questo è un sistema lineare del tipo

   (32)

che individuano il modello ARMA e F è una matrice dipendente dai dati d'ingresso e uscita di dimensioni . Perché tale sistema sia risolubile rispetto a p, casi critici a parte, è quindi necessario che sia

Nel caso in cui N=3n⁰ la soluzione è

mentre nel caso N>3n⁰ la soluzione può essere scritta nella forma

       ₍₃₃₎

I casi critici, detti di non identificabilità, sono quelli in cui la matrice F non è di rango massimo, per cui la matrice F^TF non è invertibile. Questo caso si verifica, ad esempio, se i dati di ingresso e uscita sono stati raccolti in un periodo di tempo durante il quale il sistema era all'equilibrio. In tale caso, infatti, le prime [seconde] colonne della matrice F sono tra loro identiche perché l'uscita [l'ingresso] non varia nel tempo. Un altro caso di non identificabilità si verifica quando lo stato iniziale z_d(0) della parte non raggiungibile e osservabile è nullo. In tale caso, infatti, il segnale di uscita non risente assolutamente della parte (d) del sistema (si veda la Fig. 16), così che i coefficienti del polinomio caratteristico  non sono identificabili. Ciò significa che non è identificabile il modello ARMA del sistema dato che . Quanto detto si può riassumere con il seguente teorema.

 

Il modello ARMA di un sistema lineare proprio e a tempo discreto di cui sia nota la dimensione n0=nb+nd delle parti osservabili non può essere identificato da una serie di N dati di ingresso e uscita se N<3n0. Se, invece,  il modello ARMA risulta essere univocamente identificato, eccezion fatta per alcuni casi critici (detti di non identificabilità).

A completamento e qualifica di quanto detto, facciamo due osservazioni, una di interesse concettuale e l'altra di interesse operativo. Innanzitutto notiamo che, una volta che il modello ARMA sia stato identificato, è possibile costruire una terna , che lo realizzi. Tale terna è quella in forma canonica di ricostruzione

Infatti, per il Teorema 17, tale sistema è completamente osservabile per cui non può che essere costituito dalle parti (b) e (d) che qualificano, appunto, il modello ARMA. Se il modello ARMA è in forma ridotta, cioè se i polinomi

sono primi tra loro, la terna  è anche completamente raggiungibile, cioè è costituita dalla sola parte (b). Se, invece, il modello ARMA non è in forma ridotta, cioè è del tipo

allora il sistema  è costituito da una parte raggiungibile e osservabile con modello ARMA dato da (n(p),d(p)) e da una parte non raggiungibile e osservabile descritta da un modello MA individuato dal polinomio r(p) (che coincide col polinomio caratteristico  di tale parte).

La terna in forma canonica di controllo

ottenuta per dualità dalla realizzazione in forma canonica di ricostruzione, non è invece una realizzazione del modello ARMA (N(p),D(p)), se tale modello non è in forma ridotta. Il sistema  è, infatti, completamente raggiungibile (si veda il Teorema 13) per cui non può essere costituito dalle due parti (b) e (d). La conclusione è, pertanto, che la forma canonica di controllo  ha un modello ARMA individuato da (n(p),d(p)) anzichè da (N(p),D(p)): essa realizza, quindi, soltanto la funzione di trasferimento G(p)=(N(p)/D(p)) ma non il modello ARMA nella sua interezza. Naturalmente, nel caso il sistema sia completamente raggiungibile e osservabile, il modello ARMA è in forma ridotta e la terna in forma canonica di controllo è una sua realizzazione.
La seconda osservazione consiste nel notare che, qualora ingressi e uscite siano stati rilevati commettendo degli errori, la (32) dovrà per forza di cose essere sostituita dalla relazione

dove il vettore e rappresenta gli scostamenti tra le previsioni dell'uscita effettuabili con il modello ARMA e i valori misurati delle uscite. La Fig. 18 mostra, nello spazio di dimensioni N-n⁰, il vettore delle uscite misurate e il sottospazio  delle uscite prevedibili con un modello ARMA. È allora spontaneo scegliere quel modello ARMA, cioè quel valore  di p, che minimizza in questo spazio la distanza tra il vettore delle uscite misurate e il vettore .
 

Figura 18 Illustrazione del principio di stima ai minimi quadrati

Come illustrato in figura ciò equivale a scegliere  in modo tale che il vettore  sia ortogonale a T[F]. Ma poichè  ciò equivale a imporre che

cioè

da cui segue (ipotizzando che  sia invertibile)

che è la formula (33).

La stima  data dalla (33) è nota come stima ai minimi quadrati perché è quella che, minimizzando la norma del vettore errore, minimizza la somma dei quadrati degli scostamenti esistenti tra previsioni e misure. Questa stima qui interpretata esclusivamente in termini geometrici, gode di numerose proprietà per particolari caratteristiche statistiche degli errori di misura di ingresso e/o uscita. Inoltre, la formula (33) può essere utilmente resa ricorsiva, in modo che il calcolo della stima di  possa essere aggiornato in tempo reale, man mano che viene effettuata una nuova misura, senza dover ogni volta invertire una matrice di dimensioni .