| La definizione di sistema
lineare data nel precedente paragrafo si chiama, in gergo, definizione
"interna", perché fa riferimento esplicito allo stato del sistema.
Una definizione alternativa è quella "esterna", che coinvolge, invece,
soltanto ingresso e uscita. Secondo questa definizione, in un sistema lineare
a tempo discreto di ordine n, una somma pesata degli ultimi (n+1) valori
di ingresso uguaglia, in ogni istante di tempo t, una somma pesata dei
corrispondenti valori di uscita, cioé
Se
in cui la prima sommatoria viene chiamata autoregressione e la seconda media mobile. Per questo motivo la (5) è universalmente nota come modello autoregressivo a media mobile o, più sinteticamente, come modello ARMA (dall'inglese Auto Regressive-Moving Average). L'analogo della (5) a tempo continuo è l'equazione differenziale di ordine n
dove u(i)(t) e y(i)(t) sono la derivata i-esima di ingresso e uscita. Anche questo modello è chiamato (anche se ingiustificatamente) modello ARMA. L'interpretazione della legge di Newton vista nell'Esempio 1 può così essere completata notando che la relazione
è un caso particolare della (6) (modello MA, cioè modello ARMA senza termine autoregressivo). La dinamica dell'allevamento di Fibonacci (Esempio 2) è, invece, descritta (facile da verificare) dal modello ARMA
Questa è la relazione che viene normalmente usata per generare ricorsivamente i numeri di Fibonacci (annullando l'ingresso e ponendo y(0)=y(1)=1). Le (5) e (6) possono essere scritte nella forma generale
dove D(.) e N(.) sono due polinomi di grado n
e p è un operatore di "anticipo"
nel caso di tempo discreto, (cioé py(t)=y(t+1), p2y(t)=y(t+2),
...) e di "derivazione" nel caso di tempo continuo (cioé
e l'allevamento di Fibonacci (Esempio 2) da
Nel caso che i due polinomi D(.) e N(.) siano primi tra loro (cioé non abbiano zeri in comune), il modello ARMA si dice in forma ridotta o, più semplicemente, ridotto. In questi casi, dato che il polinomio D(.) è monico, la conoscenza della coppia (D(.),N(.)) è equivalente alla conoscenza del rapporto N(.)/D(.), noto come funzione di trasferimento e indicato nel seguito con G(.), cioé
Se, invece, il modello ARMA non è ridotto, cioè se
con n(.) e d(.) primi, la funzione di trasferimento (8) risulta uguale a n(p)/d(p). Gli zeri di n(.) e d(.) si chiamano, rispettivamente zeri e poli della funzione di trasferimento. Tenendo conto delle (7) e (9) si può verificare che un modello ARMA non ridotto può essere scomposto, come mostrato in Fig. 2, in un modello ARMA ridotto individuato dalla coppia di polinomi primi (n(.),d(.))
e in un modello AR individuato dal polinomio r(.),
Infatti, moltiplicando la (10) per r(p) e tenendo conto della (11) e del fatto che
si ottiene la (7) con N(p) e D(p) dati dalla (9). Lo schema di Fig. 2 mette bene in evidenza che la funzione di trasferimento G(p)=n(p)/d(p) identifica esclusivamente la parte ridotta del modello ARMA. In altre parole, la conoscenza della sola funzione di trasferimento non permette in generale di calcolare l'uscita di un sistema a partire dal suo ingresso, a meno che il segnale v(.) sia identicamente nullo, il che si verifica quando le condizioni iniziali del modello AR (11) sono nulle. |
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(5)
l'ingresso u(t) influenza direttamente l'uscita y(t) e, pertanto,
il sistema è improprio. Se, invece, b0=0 il
sistema è proprio. La (5) viene spesso usata nella forma
(6)
(7)
,
,
...). Assegnare un modello ARMA significa, quindi, assegnare i due polinomi
D(.) e N(.) o, equivalentemente, i 2n parametri {ai,
bi}, i =1,…,n. Spesso il simbolo p nella (7) viene sostituito da
z
o da s a seconda che il tempo sia discreto o continuo. Così,
ad esempio, la legge di Newton (Esempio 1) è inviduata da
(8)
(9)
(10)
(11)
