Una funzione a valori reali  si dice a variazione limitata nell’intervallo chiuso [a,b] se esiste una costante K tale che per ogni insieme finito di punti t0,t1,t2,. . .,tn che partizionino l’intervallo [a,b] (a = t0 < t1 <  t2 <. . .< tn=b) si abbia   Se una funzione  definita su R è a variazione limitata in ogni intervallo chiuso si dice che tale funzione è a variazione limitata. Inoltre, una funzione  a valori complessi è detta a variazione limitata se la sua parte reale e la sua parte immaginaria sono a variazione limitata.

Una funzione a valori reali  è a variazione limitata nell’intervallo [a,b] se e solo se essa è la differenza di due funzioni non decrescenti. Una funzione  a variazione limitata nell’intervallo [a,b] è limitata nello stesso intervallo. Se una funzione  è a variazione limitata in un intervallo [a,b], i punti di discontinuità di questa funzione in tale intervallo sono per lo meno numerabili. Se una funzione  è a variazione limitata in un intervallo [a,b] allora per ogni  esistono Il limite sinistro e destro di tale funzione, cioè:   e > 0 Inoltre, per t = a esiste il limite destro e per t = b quello sinistro.

Ricordate queste proprietà, si può ora riportare il primo importante risultata, quello della serie di Fourier. Da un punto di vista intuitivo, tale risultato afferma che sotto ipotesi molto generali una funzione periodica di periodo T può essere rappresentata come combinazione lineare di sinusoidi di pulsazione pari a multipli della pulsazione 2p/T. Benchè questo risultato sia fondamentale in analisi matematica, esso non facilmente dimostrabile per cui viene qui riportato senza dimostrazione.

Se  è una funzione periodica di periodo T ed è a variazione limitata, allora per tutti i t si ha   (38) dove  (39)

Ovviamente, se la funzione  è continua nel punto t la (38) si semplifica e diventa
 

(40)

dalle (39) e (40) si può facilmente ottenere
 

(41)

dove
 

La (41) è l’espressione forse più nota della serie di Fourier perché mostra esplicitamente come la funzione  possa essere intesa come la combinazione lineare di sinusoidi e cosinusoidi. Si può inoltre dimostrare che se  è una funzione tale che
 
 

vale la seguente relazione:
 

dove i coefficienti f_k sono dati dalla (39).
Se si interpreta una funzione qualsiasi  come una funzione periodica di periodo infinito, si può capire dai risultati precedenti che per rappresentare tale funzione  come combinazione lineare di sinusoidi e cosinusoidi sia necessario far ricorso ad un continuo di frequenze poiché la pulsazione 2p/T tende a zero qualora T tenda all’infinito. È questa l’idea di base della cosiddetta trasformazione di Fourier che verrà ora precisata.
Sia  una funzione a variazione limitata su R e si supponga che tale funzione soddisfi la relazione
 

Si indichi, poi, con  la funzione periodica di periodo T che coincide con  nell’intervallo [-T/2,T/2). Per quanto detto in precedenza,  ammette uno sviluppo in serie di Fourier del tipo
 

(42)

Poichè, per definizione,  e  coincidono nell'intervallo [-T/2,T/2) la relazione (42) può anche essere scritta con f(t) al posto di f_T(t) pur di limitare t ad appartenere all'intervallo [-T/2,T/2). Posto, allora, 
 

dalla (39) per si ottiene
 

(43)

e 
 

La funzione  ora definita si chiama trasformata di Fourier o integrale di Fourier della funzione .