I sistemi lineari a tempo continuo (A,b,cT) che non hanno autovalori con parte reale nulla godono della proprietà che ad ogni funzione d'ingresso  periodica e di periodo T è associata una ed una sola funzione di uscita  periodica e dello stesso periodo.  Inoltre, se la parte osservabile è asintoticamente stabile l'uscita y(t) del sistema conseguente all'applicazione dell'ingresso  tende asintoticamente verso  qualsiasi sia lo stato iniziale x(0) del sistema.

Per verificare che questo teorema non possa essere esteso al caso dei sistemi con autovalori con parte reale nulla (sistemi non iperbolici) è sufficiente considerare il caso di un integratore , y= x. Infatti, in un tale sistema all’ingresso cosinusoidale

corrispondono infinite uscite periodiche ,
 

dove a è una costante arbitraria (pari allo stato iniziale x(0) del sistema). 
Tra tutte le funzioni periodiche  sono di particolare interesse le funzioni sinusoidali
 

perchè è noto che sotto ipotesi molto generali (vedi prossimo paragrafo) ogni funzione periodica  di periodo T può essere sviluppata in serie di Fourier ed espressa come combinazione lineare di sinusoidi e cosinusoidi di pulsazione n(2p/t), n intero non negativo. Se  è una funzione periodica di periodo T si ha, infatti
 

dove:

Pertanto la funzione periodica  corrispondente ad un ingresso periodico  può essere calcolata determinando dapprima le componenti dello sviluppo in serie di Fourier di  e poi sommando tutte le corrispondenti funzioni periodiche di uscita (principio di sovrapposizione degli effetti). Inoltre, l'interesse per le funzioni sinusoidali è motivato dai risultati che seguono.
 

I sistemi lineari a tempo continuo (A,b,cT) che non hanno autovalori con parte e nulla godono della proprietà che ad ogni funzione d’ingresso del tipo   è assoociata una ed una sola funzione di uscita   periodica, anch'essa sinusoidale e della stessa pulsazione 2p/T, cioè   Inoltre, Y è lineare in U e j dipende soltanto da w, cioè    Y = R(w)U j = j(w)  (35)

Questo teorema afferma che la risposta ad una sinusoide di pulsazione w e ampiezza unitaria è una sinusoide di ampiezza R(w) sfasata di j(w) rispetto alla precedente.
Pertanto, il calcolo della funzione periodica  corrispondente ad un ingresso periodico  è di immediata esecuzione una volta che si conoscano le due funzioni  e . A questa coppia di funzioni si dà, per ovvi motivi, il nome di risposta in frequenza.

La risposta in frequenza di un sistema può spesso essere facilmente rilevata per mezzo di semplici prove effettuate sul sistema. Infatti, si supponga di aver a che fare con un sistema asintoticamente stabile (a rigore, come detto nel Teorema 25, è sufficiente l’asintotica stabilità della parte osservabile) e si applichi in ingresso una sinusoide di ampiezza U e pulsazione w. Pur di lasciar trascorrere un periodo di tempo sufficientemente elevato, è allora possibile determinare la coppia (R(w), j(w)) semplicemente misurando le ampiezze U e Y delle sinusoidi di ingresso e di uscita e lo sfasamento j(w) tra queste due sinusoidi.

Qualora il sistema non abbia la parte osservabile asintoticamente stabile non è, in generale, più possibile rilevare sperimentalmente la risposta in frequenza del sistema perché l’uscita tende asintoticamente alla sinusoide  solo per un valore molto particolare dello stato iniziale. Pur tuttavia, questo non significa, come affermato da alcuni, che la risposta in frequenza non sia definibile in questo caso: il problema della definibilità di una grandezza è infatti ben distinto dal problema della sua determinabilità. La risposta in frequenza di un sistema può essere graficamente rappresentata in due modi: o per mezzo dei due diagrammi cartesiani delle funzioni  e   o per mezzo di un diagramma polare rappresentante la funzione  ( in quest’ultimo caso si parla di diagrammi di Nyquist). 
Tipici diagrammi cartesiani della funzione  sono rappresentati in Fig. 25. In corrispondenza di alcune pulsazioni w si ha  il che corrisponde ad una forte attenuazione dell’ingresso. Così, ad esempio, il sistema di Fig. 25a attenua tutte le sinusoidi di pulsazione maggiore di w₀ mentre le sinusoidi con w<w₀ non vengono attenuate. Questo tipo di sistema è pertanto detto passa basso e l’intervallo [0,w₀] si chiama banda (ovviamente, non esistendo una discontinuità in , cioè non essendo R(w) =1 per  e R(w) =0  per w>w₀ la banda passante del sistema va definita in modo opportuno). Il sistema con  come in Fig. 25b attenua, invece, le sinusoidi con pulsazione w<w₁, e quelle con pulsazione  w>w₂ ed è, pertanto detto passa banda. Per il motivo opposto il sistema con  come in Fig. 25c è detto arresta banda.
 

Figura 25 Esempi tipici di risposte in frequenza: (a) passa-basso; (b) passa-banda; (c) arresta-banda.

Casi limite di notevole interesse si ottengono facendo tendere a zero la banda di un sistema passa banda e di un sistema arresta banda. Si ottengono così sistemi detti, rispettivamente, filtri risonatori e filtri a notch, che sono praticamente sensibili o insensibili soltanto a una ben precisa pulsazione.
Naturalmente, non è soltanto di interesse l'andamento della sola funzione  ma anche quello della funzione , anzi, solitamente è significativo l'andamento congiunto delle due funzioni (cioè la risposta in frequenza). Ad esempio, si consideri un sistema di comunicazione che, in condizioni ideali, dovrebbe essere in grado di riprodurre in iscita una copia perfetta dell'ingresso, naturalmente con un certo ritardo di tempo t  necessario per trasferire l'informazione dalla sezione di ingresso a quella di uscita. Una sinusoide Usenwt in ingresso deve produrre, cioè, una sinusoide Usenw(t-t) in uscita, e questo deve essere verificato per tutte le pulsazioni w. Ne segue che tale sistema è caratterizzato da R(w)=1 j(w)= -wt, come mostrato in Fig.26.
 

Figura 26 Risposta in frequenza di un sistema di comunicazione ideale

Tale sistema (ritardatore) non è realizzabile per mezzo di un sistema lineare a dimensioni finite per cui spesso i sistemi di comunicazione vengono progettati tollerando una certa distorsione tra ingresso e uscita e, cioè, approssimando l’andamento delle funzioni  e  di Fig. 26 in un opportuno intervallo di pulsazioni.
Si è finora mostrato come la conoscenza della risposta in frequenza (, ) di un sistema lineare permetta di calcolare rapidamente la funzione periodica di uscita corrispondente ad una funzione periodica di ingresso e come le proprietà filtranti di un sistema possano facilmente essere dedotte dall’analisi della sua risposta in frequenza. È poi stato mostrato come la risposta in frequenza possa essere sperimentalmente rilevata (per punti) per mezzo di prove da effettuare sul sistema qualora tale sistema sia asintoticamente stabile. Queste proprietà sarebbero di per sè già sufficienti a giustificare l’interesse dedicato all’argomento. Tuttavia esiste un’ultima proprietà che, correlando la nozione di risposta in frequenza con quella di funzione di trasferimento, rende ancor più significativa la definizione di risposta in frequenza di un sistema lineare.
 

La risposta in frequenza ( , ) dI un sistema lineare a tempo continuo èunivocamente individuata dalla funzione di trasferimento G(s) del sistema. Più precisamente R(w) e  j(w) sono, rispettivamente, il modulo e l’argomento dei numero complesso G(iw) cioè   G(iw) = R(w)eij(w)  (36)

La dimostrazione di questo teorema può essere fatta verificando che le sinusoidi u_T(t) = Usenwt e y_T(t) = R(w)Usen(wt+j(w)) con R(w) e j(w) legate a G(s) come indicato dalla (36) soddisfano l’equazione differenziale (modello ARMA)

dove G(s) = n(s)/d(s). Ad esempio, se il sistema è del primo ordine, cioè  e y = x  si ha:
 

per cui il modello ARMA è
 

mentre la risposta in frequenza è:
 

E così immediato verificare (usando le formule di prostaferesi) che le due sinusoidi
 
 

soddisfano la (37).
ll risultato espresso dal Teorema 27 è estremamente importante, poichè esso permette di calcolare la risposta in frequenza di un sistema lineare assegnato per mezzo della terna (A,b,c^T) o del suo modello ARMA o della sua funzione di trasferimento G(s). Inoltre, esso può essere la base per una soluzione relativamente semplice del problema dell’identificazione (vedi). Infatti, se si vuoi associare ad un ente fisico un modello si devono effettuare alcune prove sul sistema e, in base all’esito di queste, determinare ad esempio, la terna (A,b,c^T). Tali prove non possono essere altro che rilevazioni di coppie di funzioni d’ingresso e uscita, quali, ad esempio la risposta all’impulso o la risposta in frequenza. Da queste funzioni si deve poi risalire alla funzione di trasferimento del sistema e, quindi, secondo quanto esposto nel paragrafo dedicato alla realizzazione, alla terna (A,b,c^T). Tra tutte le prove effettuabili sul sistema, la risposta in frequenza è quella che presenta il minor numero di inconvenienti. Infatti per effettuare il rilevamento della risposta in frequenza di un sistema asintoticamente stabile non si deve inizialmente porre il sistema a riposo (cioè x(0) può essere diverso dal vettore nullo), mentre questo è necessario qualora si voglia rilevare la risposta all’impulso o allo scalino del sistema. Inoltre, la risposta in frequenza può essere rilevata applicando all’ingresso del sistema sinusoidi di ampiezza relativamente limitata in modo che non intervengano (o che per lo meno siano trascurabili) effetti non lineari che immancabilmente sono presenti qualora. le funzioni d’ingresso assumano valori elevati. Ovviamente, questo non è il caso qualora si effettui il rilevamento della risposta all’impulso. Infine, qualora si applichi al sistema una sinusoide e in uscita (a transitono esaurito) si ottenga una forma d’onda periodica ma non sinusoidale si può concludere che il sistema non può essere ragionevolmente descritto da equazioni lineari; un tale risultato non si può facilmente ottenere esaminando la risposta all’impulso poiche è estremamente complesso dire se un oscillogramma è costituito da una combinazione lineare di esponenziali oppure no.