Fissato lo stato iniziale x(0) e l'ingresso u(t) per , le equazioni di stato (1) e (3) ammettono una unica soluzione x(t) per  (il fatto è evidente per i sistemi a tempo discreto, mentre per i sistemi a tempo continuo è conseguenza di risultati classici sull'esistenza e unicità della soluzione delle equazioni differenziali ordinarie). La funzione x(^.) così individuata si chiama movimento, mentre l'insieme {x(t), } nello spazio di stato Rⁿ si chiama traiettoria o orbita. Nel caso dei sistemi a tempo continuo la traiettoria è quindi una linea radicata nel punto x(0) e con un ben preciso verso di percorrenza, quello del tempo (vedi Fig. 6a). Nel caso dei sistemi a tempo discreto la traiettoria è invece una successione ordinata di punti {x(0),x(1),…} che, per motivi di chiarezza, è però consuetudine congiungere con dei segmenti rettilinei orientati come mostrato in Fig. 6b.

Figura 6 Traiettorie in sistemi del secondo ordine: (a) sistema a tempo continuo; (b) sistema a tempo discreto

Come mostrato in Fig. 6a, può accadere che una traiettoria passi per lo stesso punto x in istanti di tempo diversi, t₁,t₂,… Inoltre, in tale punto i vettori tangenti alla traiettoria possono essere diversi. Infatti, il vettore tangente alla traiettoria è il vettore  e quindi perché accada quanto mostrato in Fig. 6a è necessario e sufficiente che

Tale condizione non può, ovviamente, essere verificata se l'ingresso u è costante.

Può accadere che il movimento corrispondente ad un particolare stato iniziale x(0) e ad una particolare funzione d'ingresso sia periodico di periodo T, cioè

In questo caso la traiettoria risulta essere una linea chiusa (ciclo) ripetutamente percorsa ogni T unità di tempo. Poiché se x è periodico anche deve essere tale, segue che 

e quindi

        (13)

Un caso particolare di quello dei cicli si presenta quando lo stato del sistema non varia nel tempo, così che il ciclo è rappresentato da un punto  detto stato di equilibrio. A questo proposito diamo la seguente definizione.
 

Un sistema si dice all'equilibrio se ingresso e stato (e, quindi, anche uscita) sono costanti, cioè se Il vettore  si chiama stato di equilibrio.

Poiché nei sistemi a tempo continuo , implica , ne consegue che in tali sistemi

(14)

(15)

Se A è non singolare (cioè se  o, equivalentemente, se A non ha autovalori nulli), esiste una sola soluzione  della (14) per ogni e, pertanto, anche una sola soluzione della (15), formalmente date da

Nel caso A sia invece singolare (), fissato  o non esistono soluzioni ,  delle (14), (15) o ne esistono infinite.

Nel caso dei sistemi a tempo discreto le (14) e (15) devono essere sostituite dalle relazioni

per cui l'unicità dello stato (e dell'uscita) di equilibrio per ogni fissato ingresso  è garantita dalla non singolarità della matrice (I-A), cioè del fatto che

o, equivalentemente, dal fatto che A non abbia autovalori unitari. In tale caso si ha

Le (16) e (17) mostrano comunque che nei casi non singolari il legame tra ingresso di equilibrio e uscita di equilibrio è lineare. Poiché nei sistemi ad un solo ingresso e uscita è d'uso definire il guadagno del sistema come il rapporto m tra uscita e ingresso all'equilibrio

ne consegue che per i sistemi a tempo continuo vale la formula

mentre per i sistemi a tempo discreto vale la formula

Naturalmente, queste stesse formule mostrano che non ha senso parlare di guadagno nei casi singolari.

È importante notare che il calcolo del guadagno è immediato quando si conosca la relazione ingresso-uscita (6) di un sistema a tempo continuo, perché la condizione di equilibrio impone y⁽ⁱ⁾=u⁽ⁱ⁾=0, i=1,…n,  per cui

Nel caso analogo dei sistemi a tempo discreto risulta invece (vedi (5))

Si noti che, indicata con G(s) la funzione di trasferimento di un sistema a tempo continuo, la (18) è equivalente a m=G(0), per cui il guadagno   è uguale alla funzione di trasferimento valutata per s=0. Nel caso dei sistemi a tempo discreto con funzione di trasferimento G(z) dalla (19) segue invece che m=G(1), cioè il guadagno è uguale alla funzione di trasferimento valutata per z=1.

Il calcolo del guadagno è semplice da effettuare anche nel caso di sistemi costituiti da aggregati di sottosistemi ad un solo ingresso e una sola uscita. E' infatti immediato verificare che il guadagno   di un sistema costituito da due sottosistemi collegati in cascata è il prodotto dei guadagni dei due sottosistemi, cioè

mentre per i sistemi collegati in parallelo vale la formula

e per i sistemi collegati in retroazione