Dalle equazioni di stato di un sistema lineare segue che lo stato al generico istante t è funzione dello stato all'istante iniziale t=0, dell'ingresso nell'intervallo di tempo [0,t) e, ovviamente, della durata t dell'intervallo di tempo considerato. Una soluzione esplicita, nel senso comune del termine, delle equazioni di stato è possibile soltanto in casi particolarmente semplici (tipicamente, sistemi del primo o secondo ordine). La soluzione può essere, tuttavia, specificata e messa in forma particolarmente utile per la comprensione di molti problemi e per la dimostrazione di alcune proprietà. Nel caso dei sistemi a tempo continuo, la formula è attribuita a Lagrange; per semplicità, daremo lo stesso nome all'analoga formula valida nel caso dei sistemi a tempo discreto.
 

 
In un sistema lineare a tempo continuo

lo stato x(t) per  è dato da (formula di Lagrange)

           (20)

dove

             (21)

Analogamente, in un sistema lineare a tempo discreto

x(t+1)=Ax(t)+bu(t)

per , vale la formula

            (22)

detta anch'essa formula di Lagrange.
Le formule di Lagrange (20) e (22) possono essere compattamente riscritte come

x(t)=F(t)x(0)+Y(t)u[0,t)(.)          (23)
dove F(t) e Y(t) sono operatori lineari applicati, rispettivamente, allo stato iniziale x(0) e al segmento u[0,t)(.) di funzione di ingresso u(.). 
Confrontando la (23) con le (20) e (22) segue che la matrice F(t),detta matrice di transizione, è data da

La (23) afferma che lo stato del sistema è in ogni istante dato dalla somma di due contributi, il primo dipendente linearmente dallo stato iniziale e il secondo dipendente linearmente dall'ingresso. Questi due contributi al movimento di un sistema dinamico si chiamano, rispettivamente, movimento libero e movimento forzato. Il motivo di questa denominazione è ovvio: F(t)x(0) rappresenta l'evoluzione del sistema "libero" cioè del sistema a cui è applicato ingresso nullo (o, come si dice a volte in gergo, del sistema senza ingresso), mentre Y(t)u[0,t)(.) rappresenta l'evoluzione del sistema inizialmente scarico (x(0)=0) ma forzato dall'ingresso u(.) Applicando la trasformazione di uscita alla (23) si ottiene

y(t)=cTF(t)x(0)+ cT Y(t)u[0,t)(.)+du(t)                 (24)

che evidenzia che anche l'uscita è la somma di una evoluzione libera e di una evoluzione forzata. 

La (24), letta in modo opportuno, permette di formulare il cosiddetto principio di sovrapposizione (delle cause e degli effetti), spesso evocato in trattazioni relative a sistemi dinamici lineari. Nella formulazione corretta del principio, le cause sono lo stato iniziale x(0) e la funzione d'ingresso u(.) definita per e gli effetti sono rappresentati dall'uscita y(.) sempre per.
 

Se alle cause () corrisponde l'effetto  y'(.) e alle cause () corrisponde l'effetto  allora, in un sistema lineare, alla combinazione lineare ,  delle cause corrisponde la stessa combinazione lineare  degli effetti.

Tra le formule più usate di ogni disciplina è quasi sempre possibile trovarne alcune che rappresentano la formula di Lagrange applicata a semplici sistemi del primo o del secondo ordine. La legge della caduta dei gravi, la legge di carica e scarica di un condensatore, la legge secondo cui sale la temperatura di un termometro e quella secondo cui si svuota un serbatoio, sono tutte formule di Lagrange di sistemi a tempo continuo. Ma la stessa cosa vale anche per leggi che fanno riferimento a sistemi a tempo discreto come mostrato nel seguente esempio.


 
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