| Per rispondere ai quesiti del responsabile dell'ufficio
fidi, si deve individuare il sistema dinamico che rappresenta l'allevamento.
Successivamente, si può valutarne il comportamento asintotico nel
caso di investimento nullo, attraverso il calcolo dell'autovalore dominante.
Infine, la sequenza di utile netto può essere prevista facendo uso
della relazione ARMA
associata al sistema.
IL MODELLO:
Siano t il tempo (anno), x1,
x2 e x3
il numero di animali di prima, seconda e terza classe di età presenti
nell'allevamento all'inizio dell'anno, u l'investimento (espresso
in numero di capi), y l'utile.
L'allevamento è descritto dalle seguenti
equazioni di stato:
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(1) |
Per definire la trasformazione di uscita conviene
fare riferimento al seguente conto economico scalare:
| RICAVI |
px3 |
- |
| COSTI |
c1x1
+ c2x2+
c3x3 |
- |
| AMMORTAMENTI |
cu |
= |
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| UTILE LORDO |
px3 - (c1x1
+ c2x2
+ c3x3
+ cu) |
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| UTILE NETTO |
0.5 [px3
- (c1x1
+ c2x2+
c3x3+
cu)] |
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da cui si ricava:
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(2) |
Le equazioni (1,2) definiscono quindi un sistema
lineare, improprio,
del terzo ordine (A, b, cT,d).
FUNZIONAMENTO
ASINTOTICO:
In assenza di investimento, l'allevamento fallisce
se il sistema (1,2) risulta asintoticamente
stabile, in quanto x(t) -->0.
Per rispondere al primo quesito, basta dunque calcolare
gli autovalori del sistema (1,2), avvalendosi di un opportuno programma.
Ciò consente di rispondere anche al secondo
quesito, in quanto, nel lungo periodo, l'utile netto y cresce ad
un saggio pari a l*-1,
dove l* è l'autovalore
dominante (il più grande in modulo). Ovviamente, se l*-1
è negativo, l'utile decresce ad un tasso pari a 1-l*.
FUNZIONAMENTO
DI BREVE PERIODO:
Per rispondere al terzo quesito, conviene ricavare
la relazione ARMA associata al sistema (1,2).
A tal fine, si può utilizzare un programma
che calcoli la funzione di trasferimento:
relativa ad un sistema lineare (A, b,
cT,d).
La relazione ARMA è allora:
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(3) |
La (3) può essere impiegata per calcolare
recursivamente y(1), y(2), y(3), y(4), y(5),
ponendo u(t) = 0 per 
e desumendo dai dati forniti u(t) e y(t) per  .
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