Si tratta di una classica analisi costi-benefici in cui i benefici sono rappresentati dai ricavi sulla vendita dei prodotti mentre i costi sono quelli di acquisizione delle materie prime (compreso eventualmente il lavoro) e di trattamento dei fumi.

Le variabili di decisione sono le quantità x_i di prodotti finiti e y_j di materie prime da acquisire. La funzione obiettivo può quindi essere espressa nel modo seguente

in cui l’ultimo termine rappresenta i costi di filtraggio dei fumi (k e h sono coefficienti di proporzionalità positivi e noti).

I vincoli devono rappresentare il sistema produttivo e quindi impongono che le materie prime siano in quantità sufficiente per la produzione, per cui sono del tipo

Il problema così formulato è di tipo non lineare (nella funzione obiettivo compare un termine quadratico) e pertanto richiederebbe l’uso di un opportuno algoritmo (gradiente, pattern search,...) in uno spazio di dimensione pari al numero di variabili N+M. Se tale numero è elevato i tempi di elaborazione possono, come si sa, diventare proibitivi. Tuttavia il problema sopra formulato ha una struttura molto particolare che può essere facilmente sfruttata per rendere assai più rapida la ricerca della soluzione ottima. Infatti il termine di costo del filtraggio nella funzione obiettivo rappresenta l’unica non linearità del problema ed è pertanto possibile operare nel modo seguente:

- si fissa un certo valore T della produzione totale,

- si introduce nella funzione obiettivo il termine (noto)  k (hT)²

- si introduce il nuovo vincolo  å_i  x_i  = T  che impone che la produzione totale sia proprio pari al valore T prefissato.

A questo punto, per ogni valore di T, si è di fronte ad un problema lineare che può essere rapidamente risolto con il ben noto algoritmo del simplesso. E’ pertanto sufficiente far variare parametricamente T per determinare per punti l’intera funzione P(T) che rappresenta l’andamento del profitto dell’azienda al variare della produzione totale e quindi in particolare il punto di massimo profitto. Il massimo della funzione P(T) si può anche determinare per mezzo di uno degli algoritmi per la ricerca monodimensionale (bisezione, Fibonacci,...) riducendo in questo modo il numero di punti della funzione da valutare e quindi il numero di programmi lineari da risolvere.

In conclusione la produzione ottima può essere agevolmente determinata scomponendo il problema in parte lineare e non e operando con due algoritmi in cascata: uno per la ricerca dell’ottimo di una funzione non lineare di una sola variabile e l’altro per la soluzione ad ogni passo di un problema lineare di dimensioni anche molto notevoli.