Si tratta di una classica analisi costi-benefici in cui i benefici sono rappresentati dai ricavi sulla vendita dei prodotti mentre i costi sono quelli di acquisizione delle materie prime (compreso eventualmente il lavoro) e di trattamento dei fumi.

Le variabili di decisione sono le quantit� x_i di prodotti finiti e y_j di materie prime da acquisire. La funzione obiettivo pu� quindi essere espressa nel modo seguente

in cui l�ultimo termine rappresenta i costi di filtraggio dei fumi (k e h sono coefficienti di proporzionalit� positivi e noti).

I vincoli devono rappresentare il sistema produttivo e quindi impongono che le materie prime siano in quantit� sufficiente per la produzione, per cui sono del tipo

Il problema cos� formulato � di tipo non lineare (nella funzione obiettivo compare un termine quadratico) e pertanto richiederebbe l�uso di un opportuno algoritmo (gradiente, pattern search,...) in uno spazio di dimensione pari al numero di variabili N+M. Se tale numero � elevato i tempi di elaborazione possono, come si sa, diventare proibitivi. Tuttavia il problema sopra formulato ha una struttura molto particolare che pu� essere facilmente sfruttata per rendere assai pi� rapida la ricerca della soluzione ottima. Infatti il termine di costo del filtraggio nella funzione obiettivo rappresenta l�unica non linearit� del problema ed � pertanto possibile operare nel modo seguente:

- si fissa un certo valore T della produzione totale,

- si introduce nella funzione obiettivo il termine (noto) �k (hT)²

- si introduce il nuovo vincolo ��_i� x_i� = T �che impone che la produzione totale sia proprio pari al valore T prefissato.

A questo punto, per ogni valore di T, si � di fronte ad un problema lineare che pu� essere rapidamente risolto con il ben noto algoritmo del simplesso. E� pertanto sufficiente far variare parametricamente T per determinare per punti l�intera funzione P(T) che rappresenta l�andamento del profitto dell�azienda al variare della produzione totale e quindi in particolare il punto di massimo profitto. Il massimo della funzione P(T) si pu� anche determinare per mezzo di uno degli algoritmi per la ricerca monodimensionale (bisezione, Fibonacci,...) riducendo in questo modo il numero di punti della funzione da valutare e quindi il numero di programmi lineari da risolvere.

In conclusione la produzione ottima pu� essere agevolmente determinata scomponendo il problema in parte lineare e non e operando con due algoritmi in cascata: uno per la ricerca dell�ottimo di una funzione non lineare di una sola variabile e l�altro per la soluzione ad ogni passo di un problema lineare di dimensioni anche molto notevoli.