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Il
problema può essere formulato come segue:
max g(x,E) = max [g1(x1,E1) + g2(x2,E2)] E {E1,E2} con g1(x1,E1) = x1 - x1exp(-E1) - 2E1 g2(x2,E2) = x2 - x2exp(-E2) - 2E2 soggetto
a x2 = x1exp(-E1)
(1)
x3 = x2exp(-E2) (2) x1,x2,x3,E1,E2³ 0 (3) x1 = C (4) x3 = N (5) con N < C Il problema è seriale e può essere risolto per mezzo della programmazione dinamica. Scelto l’ordine di eliminazione x3, E2, x2, E1, x1, i passi da eseguire sono i seguenti: a) eliminazione di x3 Dalla condizione finale (5) e dal vincolo (2) si ottiene x2exp(-E2) = N b)
eliminazione di E2
Si risolve il sottoproblema h2(x2) = max g2(x2,E2) = max [ x2 - x2exp(-E2) - 2E2 ]
E2
E2
soggetto a x2exp(-E2) = N (6) x2 , E2³ 0 Si noti che (6) è un vincolo di uguaglianza, per cui E2 risulta funzione di x2 : E02 = lg x2 - lg N con
x2³
N .
La funzione h2(x2) vale pertanto h2(x2) = x2 - N - 2 lg x2 + 2 lg N (7) c)
eliminazione di x2
Dal vincolo (1) e dalla (7) si ottiene h2(x1,E1) = x1exp(-E1) - N - 2 lg x1 + 2E1 + 2 lg N d)
eliminazione di E1
Si risolve il problema h1(x1) = max [g1(x1,E1) + h2(x1,E1)] =E1 =
max [x1 - 2 lg x1 - N + 2 lg N]
=
E1 soggetto a E1³ 0 da cui risulta E01 = aqualsiasi purché ³ 0 e h1(x1) = x1 – 2 lg x1 – N + 2 lg N e) eliminazione di x1 Si ha x1 = C (condizione iniziale) da cui g0 = h(x01) = (C - 2 lg C) - (N - 2 lg N). Ripercorrendo
all’indietro i passi compiuti, si ricava che la soluzione ottima g0
si ottiene per:
E01 = a³ 0 Si
noti che la condizione E02³
0 è verificata solo se E01 = a
è £
lg C/N.
I valori ottimi E01 e E02 sono pertanto : 0 £ E01£ lg C/N Questo
significa che è possibile assegnare alla prima flotta uno sforzo
qualsiasi, compatibilmente con la condizione finale imposta; lo sforzo
della seconda flotta risulta automaticamente determinato.
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