Il più noto di questi test (che è una condizione sufficiente di instabilità) è il criterio di instabilità della traccia, che afferma che se in un sistema a tempo continuo [discreto] di dimensione n la traccia della matrice A è positiva [maggiore di n in modulo] il sistema è instabile. La dimostrazione di questa proprietà è ovvia, se si ricorda che la traccia di una matrice è pari alla somma dei suoi autovalori.

Una condizione che richiede uno sforzo computazionale molto maggiore (ma pur sempre incomparabilmente minore di quello richiesto dal calcolo degli autovalori) è quella nota come criterio di Hurwitz. Tale criterio (di cui non riportiamo la dimostrazione) è una condizione necessaria e sufficiente perchè le n radici di una equazione polinomiale a coefficienti reali

 

Sia DA(l)=ln+a1ln-1+…+an il polinomio caratteristico di un sistema lineare a tempo continuo . Si consideri la seguente matrice di dimensioni (detta matrice di Hurwitz) in cui an+i=0 per i>0. Allora, condizione necessaria e sufficiente per l'asintotica stabilità del sistema è che siano positivi tutti i primi minori principali della matrice di Hurwitz. Cioè, posto condizione necessaria e sufficiente per l'asintotica stabilità del sistema è che Di>0, i=1,…,n.

 

Sia DA(l)=ln+a1ln-1+…+an il polinomio caratteristico di un sistema a tempo continuo .  Si consideri la seguente matrice di dimensione  (detta matrice di Routh) in cui (si noti che rij è calcolabile solo se ). Allora, condizione necessaria e sufficiente per l'asintotica stabilità del sistema è che siano positivi tutti gli elementi della prima colonna di R.

si può riportare il problema della verifica che gli zeri di un polinomio in z siano interni al cerchio di raggio unitario a quello della verifica che gli zeri di un polinomio in s siano a parte reale negativa. In altre parole, se

è il polinomio caratteristico di un sistema a tempo discreto x(t+1)=Ax(t), si può scrivere la sua equazione caratteristica nella forma

Applicando, allora, il criterio di Hurwitz o di Routh a questa equazione, si può determinare se il sistema a tempo discreto è asintoticamente stabile o no.

Riportiamo, comunque, uno dei più noti criteri di asintotica stabilità dei sistemi a tempo discreto.

 

Sia DA(l)=ln+a1ln-1+…+an il polinomio caratteristico di un sistema a tempo discreto x(t+1)=Ax(t). Si consideri la seguente tabella costruita a coppie di righe calcolate ricorsivamente. La terza riga è ottenuta sottraendo dalla prima la seconda moltiplicata per  così che l'ultimo suo elemento è nullo. Analogamente, la quinta riga è la differenza fra la terza riga moltiplicata per  e la quarta moltiplicata per  e così si procede per tutte le righe dispari. Tutte le righe pari sono invece ottenute scrivendo in ordine inverso la riga precedente. Questa procedura è ripetuta finché si ottengono 2n+1 righe, dove l'ultima è composta di un unico elemento. Allora, condizione necessaria e sufficiente per l'asintotica stabilità del sistema è che siano verificate le seguenti condizioni   (i) (ii) (iii)  il primo elemento di ogni riga dispari è positivo.

Nel caso particolare dei sistemi del secondo ordine (matrice A di dimensione ) valgono condizioni speciali, che permettono spesso di verificare l'asintotica stabilità del sistema per semplice ispezione della matrice A.

 

Un sistema a tempo continuo  del secondo ordine è asintoticamente stabile se e solo se trA<0     det A>0 Analogamente, un sistema a tempo discreto x(t+1)=Ax(t) del secondo ordine è asintoticamente stabile se e solo se |trA|<1+det A  det A<1