cascata
	parallelo
	retroazione (negativa)

dove G₁(p) e G₂(p) sono le funzioni di trasferimento dei due sottosistemi. Trascurando i casi critici (legati alla non raggiungibilità e osservabilità dell'aggregato) in cui avvengono delle semplificazioni che portano ad una funzione di trasferimento con grado del polinomio al denominatore minore della somma dei gradi dei polinomi al denominatore delle due funzioni di trasferimento G₁(p) e G₂(p), si può immediatamente concludere quanto segue.

Cascata. I poli e gli zeri di G(p) sono la riunione di quelli di G₁(p) e G₂(p)

Parallelo. I poli di G(p) sono la riunione di quelli di G₁(p) e G₂(p)

Retroazione. Gli zeri di G(p) sono la riunione degli zeri di G₁(p) e dei poli di G₂(p)

Il calcolo di poli e zeri dell'aggregato è, quindi, immediato, tranne per gli zeri dei sistemi in parallelo e per i poli dei sistemi in retroazione. Questi due casi possono, tuttavia, essere ritenuti equivalenti, pur di notare che gli zeri della funzione di trasferimento

del sistema di Fig. 21a coincidono con i poli della funzione di trasferimento

del sistema di Fig. 21b.
 

Figura 21 Gli zeri del sistema (a) coincidono con i poli del sistema (b)

Si può così affermare che l'unico vero problema di soluzione non immediata è quello della determinazione dei poli di un sistema retroazionato. È questo il problema centrale della teoria classica del controllo, essenzialmente mirata alla determinazione di sistemi retroazionati con opportune proprietà dinamiche tra cui, fondamentale, la stabilità esterna. Nelle applicazioni è poi spesso importante poter determinare poli e zeri al variare di qualche parametro (tipicamente un parametro di progetto). Benché tutto ciò sia oggi facilmente fattibile, sia dal punto di vista numerico che dal punto di vista simbolico, per mezzo di software specialistico, riteniamo opportuno descrivere brevemente il metodo del luogo delle radici, usatissimo in passato nella sintesi dei sistemi di controllo, e ancor oggi di grande valore per la discussione della stabilità dei sistemi retroazionati.

Il luogo delle radici è, per definizione, il luogo percorso nel piano complesso dai poli del sistema di Fig. 22 al variare delle costanti di trasferimento dei due sottosistemi. Esso è, pertanto, costituito da n linee (una per ogni polo) dette "rami" del luogo.
 

Figura 22 Sistema retroazionato

Se il prodotto delle due costanti è positivo e viene fatto variare da 0 a  si parla di luogo diretto. Nel caso opposto si parla, invece, di luogo inverso. Se le costanti di trasferimento sono legate a parametri di progetto e si vuole ottenere un sistema esternamente stabile, si dovrà verificare che gli n rami del luogo siano "stabili" per opportuni valori delle due costanti. Ciò significa verificare che gli n rami siano, per un certo valore delle costanti, nel semipiano sinistro [cerchio di raggio unitario] del piano complesso se il sistema è a tempo continuo [discreto]. In Fig. 23 sono mostrati sei esempi di luoghi delle radici diretti: poli e zeri delle due funzioni di trasferimento G(p) e H(p) sono, rispettivamente, indicati con delle crocette () e con dei cerchietti (o).
 

Figura 23 Luoghi delle radici di sistemi del secondo e terzo ordine. (a) due poli; (b) e (c) due poli e uno zero; (d) tre poli; (e) tre poli e uno zero; (f) tre poli e due zeri

Ovviamente, non interessa distinguere i poli [gli zeri] di G(p) da quelli di H(p) perché se
 
 

la funzione di trasferimento F(p) del sistema risulta essere
 
 

e i suoi poli sono le radici dell'equazione
 
 

in cui interviene soltanto il prodotto G(p)H(p). Tale equazione può essere utilmente scritta nella forma
 
 

dove il parametro k (positivo nel luogo diretto e negativo in quello inverso) è il prodotto delle due costanti di trasferimento, cioè . I luoghi (a), (b) e (c) di Fig. 23 fanno riferimento ad un sistema retroazionato composto da due sottosistemi che hanno, in tutto, due soli poli, mentre nei casi (d), (e) e (f) si hanno tre poli. Consistentemente i primi due luoghi sono costituiti da due rami e gli ultimi due da tre rami. Se si immagina di avere a che fare con sistemi a tempo continuo, si può dedurre che il sistema retroazionato è esternamente stabile per tutti i valori di k nei casi (a), (b) e (c), solo per  nel caso (d) ed (e) e sia per  che per  nel caso (f). I valori e  (detti di biforcazione) sono molto importanti perchè separano classi di sistemi stabili da classi di sistemi instabili.

I sei luoghi di Fig. 23 mostrano alcune proprietà generali del luogo delle radici che è opportuno notare. Innanzitutto il luogo è simmetrico rispetto all'asse reale. Inoltre, ogni ramo parte da un polo (di F(p) o G(p)) perché per  le radici della (34) tendono a  e . Per , invece, (n-r) rami tendono agli zeri  e  (vedi (34)) e i rimanenti r tendono all'infinito formando tra loro angoli pari a . Infine, tutti i punti dell'asse reale che hanno alla propria destra un numero dispari [pari] di singolarità (poli e zeri) appartengono al luogo diretto [inverso]. Tutte queste proprietà si possono dimostrare facilmente. Altre sono invece meno immediate come la "regola del baricentro" che afferma che se l'eccesso di poli (r) è maggiore o uguale a 2, la somma degli n poli è indipendente da k. Ciò si può verificare scrivendo la (34) nella forma

e notando che g₁, che è pari alla somma dei poli cambiata di segno, non dipende da k se. Le conseguenze della regola del baricentro sono palesi nei luoghi (a) e (e) di Fig. 23. Nel caso (a) il punto in cui, al variare di k, vengono a contatto i due rami del luogo è il punto centrale del segmento compreso tra i due poli. Nel caso (e) poiché per k=0 la somma dei tre poli è pari a -6 e per  uno dei poli tende verso lo zero -8, gli altri due poli devono avere per parte reale pari a 1.

Tutte queste regole (ed eventualmente altre ancora più specifiche) permettono spesso di discutere qualitativamente ma con grande efficacia la stabilità esterna di un sistema retroazionato al variare di un parametro di progetto. Per quanto affermato in Fig. 20 queste stesse regole permettono anche di discutere lo sfasamento minimo dei sistemi in parallelo al variare di un parametro di progetto.