Il Teorema 23 permette di concludere che G(p) è la funzione di trasferimento della sola parte raggiungibile e osservabile del sistema, cioè

dove N_b(p) e l_b(p) sono i polinomi che individuano il modello ARMA della parte raggiungibile e osservabile. Gli zeri dei polinomi N_b(^.) e l_b(^.) si chiamano, rispettivamente, zeri e poli della funzione di trasferimento (o del sistema) e sono indicati con z_i e p_i. La funzione di trasferimento di un sistema proprio con parte raggiungibile e osservabile di dimensione n può allora essere scritta nella forma

doveè il cosiddetto grado relativo (o eccesso di poli), oppure nella forma

dove rsi chiama costante di trasferimento. Poli e zeri hanno grande importanza in tutta una serie di problemi relativi alla teoria dei sistemi e del controllo. Vedremo tra poco che è di particolare interesse sapere se in un sistema a tempo continuo [discreto] poli e zeri hanno parte reale negativa [modulo minore di 1]. Come si dice in gergo, interessa cioè sapere se poli e zeri sono "stabili".

Da quanto detto sulla scomposizione in parti, segue che i poli della funzione di trasferimento sono gli autovalori della parte raggiungibile e osservabile, per cui (vedi Teorema 22) un sistema risulta esternamente stabile se e solo se i suoi poli sono stabili. È questo il criterio universalmente usato per discutere la stabilità dei sistemi descritti in termini di funzioni di trasferimento. Inoltre, l'uscita di un sistema risulta limitata per ogni ingresso limitato e per ogni stato iniziale se e solo se i suoi poli sono stabili e la parte (d) non raggiungibile e osservabile è asintoticamente stabile. In tali condizioni, risolvendo rispetto a  le equazioni del modello ARMA

per diverse condizioni iniziali, si ottengono diverse soluzioni  che hanno però la proprietà di tendere asintoticamente verso la stessa funzione y(t). Ciò significa che, sui tempi lunghi, l'uscita di un sistema dinamico può essere calcolata con buona approssimazione per mezzo del modello ARMA anche senza conoscere lo stato iniziale del sistema. Naturalmente, se il sistema non ha parte non raggiungibile e osservabile o se tale parte è asintoticamente stabile, l'uscita del sistema si può calcolare con buona approssimazione per t sufficientemente grande per mezzo del modello ARMA ridotto

se e solo se i poli del sistema sono stabili.

Per comprendere il ruolo degli zeri nella dinamica di un sistema lineare è necessario far riferimento a un risultato decisamente meno noto di quelli appena ricordati per i poli. Questo risultato afferma che un sistema lineare  completamente raggiungibile e osservabile con n poli e n-r zeri può sempre essere posto, per mezzo di un cambiamento di coordinate z=Tx, nella forma indicata in Fig. 19, dove il sottosistema in linea di andata, ha dimensioni r e non ha zeri.
 

Figura 19 Sistema equivalente ad un sistema completamente raggiungibile e osservabile (G1(p) non ha zeri)

Dette G₁(p) e G₂(p) le funzioni di trasferimento dei due sottosistemi, dalla formula

si deduce allora che i poli di G₂(p) sono gli zeri di G(p). Pertanto, se  è la terna che individua il sottosistema in retroazione, gli autovalori di A₂ sono gli zeri del sistema. L'uscita libera del sistema in retroazione, ottenuta con y(t) identicamente nulla, è, quindi, del tipo

Se il sistema in linea di andata è inizialmente scarico () e il segnale  viene compensato con un ingresso , il sistema in linea di andata non risulta sollecitato dall'esterno e resta, pertanto, a riposo (). Ciò significa che l'uscita di un sistema lineare può essere identicamente nulla anche se il suo ingresso non è tale. Anzi, quanto visto ci permette di precisare che un sistema può avere una dinamica apparentemente nulla () purché il suo stato inziale sia opportuno (,  qualsiasi) e il suo ingresso sia l'uscita di un sistema autonomo  che abbia come autovalori gli zeri del sistema. In altre parole, gli zeri di un sistema individuano completamente la dinamica dei suoi ingressi nascosti.

Sistemi senza zeri o con zeri stabili sono sistemi senza ingressi nascosti o con ingressi nascosti che tendono asintoticamente a zero (con rapidità legata allo zero "dominante"). Questi sistemi sono anche detti "a sfasamento minimo". Sistemi a sfasamento non minimo hanno, invece, zeri instabili e, quindi, ingressi nascosti illimitati (o, comunque, non tendenti a zero).

Dalla conoscenza della sola uscita di un sistema lineare completamente raggiungibile e osservabile si può così ricostruire l'ingresso, a meno degl ingressi nascosti. Ma poichè questi tendono a zero per  se il sistema è a sfasamento minimo, si comprende come in tale caso si possa, elaborando l'uscita, determinare una stima  dell'ingresso che per  tende al vero ingresso u(t). L'algoritmo di ricostruzione è ancora costituito dal modello ARMA

che questa volta deve però essere risolto rispetto ad u(t). Nel caso di un sistema a tempo discreto, ciò corrisponde a risolvere ricorsivamente l'equazione

rispetto a . Si noti che questa operazione non può essere eseguita in tempo reale perchè il calcolo di  richiede la conoscenza di y(t). Al più l'ingresso può quindi essere ricostruito dopo r intervalli di tempo elementari.

Naturalmente il problema degli ingressi nascosti e della ricostruzione dell'ingresso dall'uscita si pone anche nel caso il sistema abbia la parte non raggiungibile e osservabile. In questo caso, ricordando quanto detto nel secondo paragrafo (cioè tenendo presente la Fig. 2 oltre che la Fig. 19), si perviene allo schema di Fig. 20.
 

Figura 20 Schema a blocchi di un sistema con modello ARMA non ridotto: Dd(p) è il polinomio caratteristico della parte non raggiungibile e osservabile e G1(p) non ha zeri

Tale schema a blocchi mostra che gli ingressi nascosti sono di due tipi: quelli "generati" dagli zeri del sistema (poli di G₂(p)) e quelli "generati" dagli autovalori della parte non raggiungibile e osservabile (zeri del polinomio D_d(p). Pertanto, affinché gli ingressi nascosti tendano a zero al passare del tempo, è necessario che il sistema, oltre ad essere a sfasamento minimo, abbia anche la parte non raggiungibile e osservabile asintoticamente stabile. In queste condizioni l'ingresso può essere ricostruito risolvendo rispetto ad u(t) l'equazione del modello ARMA non ridotto

o, alternativamente, quella del modello ARMA ridotto

Quanto visto in questo paragrafo si può riassumere notando che poli e zeri hanno ruoli in un certo senso duali. Infatti, sui tempi lunghi, l'uscita di un sistema completamente raggiungibile e osservabile si può calcolare, a partire dal suo ingresso, anche senza conoscere lo stato iniziale purché i poli del sistema siano stabili (esterna stabilità). Dualmente, sui tempi lunghi, l'ingresso di un sistema completamente raggiungibile e osservabile si può calcolare, a partire dalla sua uscita, anche senza conoscere lo stato iniziale purché gli zeri del sistema siano stabili (sfasamento minimo). Detto in altre parole, la stabilità dei poli fa sì che diventi trascurabile al passare del tempo il movimento libero, mentre la stabilità degli zeri fa sì che diventino trascurabili gli ingressi nascosti. Il lettore è invitato a riformulare queste osservazioni per il caso più generale dei sistemi con parte non raggiungibile e osservabile.