con x(0)=0 e u(t)=impt.

In molti casi la risposta all’impulso può essere rilevata sul campo o in laboratorio. 
In Fig. 24 sono, ad esempio, riportate le risposte all’impulso di quattro sistemi. La prima è relativa alla posizione di una massa puntiforme che si muove lungo una linea dopo essere stata colpita da un’altra massa (forza impulsiva), là seconda è relativa alla tensione di un circuito R-C alimentato da un impulso di corrente, la terza è la portata di un torrente dopo un breve ma intenso temporale (precipitazione impulsiva) e la quarta è l’andamento della freccia delle ali di un aereo dopo un vuoto d’aria (forza impulsiva).

Figura 24 Quattro risposte all'impulso: (a) massa puntiforme; (b) circuito elettrico R-C; (c) torrente; (d) ali di un aereo

Dalla definizione data e dalla formula di Lagrange (Teorema 1) segue allora che:
 

cioè:
 

Ciò significa che la risposta all’impulso è l’uscita libera del sistema  con x(0) = b e ciò è del tutto giustificato dato che l’effetto dell’impulso è quello di trasferire lo stato del sistema da 0 a b in un intervallo di tempo di durata nulla. 
Ricordando che la parte raggiungibile e osservabile di un sistema (parte (b)) è l’unica a contribuire sull’uscita nel caso di stato iniziale nullo, si può anche affermare che:
 

Dalla formula di Lagrange segue anche che l'evoluzione forzata di un sistema lineare a tempo continuo è:
 

cioè, l’uscita forzata è l’integrale di convoluzione, di risposta all’impulso e ingresso.
Inoltre è opportuno notare che:
 

per cui, tenendo presente la formula dello sviluppo in serie di Taylor di una funzione g(t) nell’intorno dell’origine, si può concludere che
 

I coefficienti
 

sono noti come coefficienti di Markov.
Infine, è opportuno notare che si possono definire altri tipi di risposta ad un sistema lineare  a tempo continuo. Tra i più usati (detti canonici), possiamo ricordare la risposta allo scalino e la risposta alla rampa, che sono l'uscita del sistema con x(0)=0 e 
 

Poichè lo scalino è l'integrale dell'impulso e la rampa è l'integrale dello scalino, è immediato concludere che la risposta allo scalino è l'integrale della risposta all'impulso e che la risposta alla rampa è, a sua volta, l'integrale di quella allo scalino.
Procedendo in modo del tutto analogo, si può definire la risposta all'impulso dei sistemi a tempo discreto per i quali, a conti fatti, risulta
 

Tenendo conto della definizione appena data di coefficiente di Markov, si può allora concludere che la risposta all’impulso g(t) di un sistema a tempo discreto è nulla all’istante iniziale e pari al corrispondente coefficiente di Markov negli altri istanti, cioè
 

Come utile esercizio riassuntivo, il lettore è invitato a calcolare la risposta all’impulso dei sistemi considerati nell’esempio della legge di Newton e nell’esempio dell'allevamento di Fibonacci.