Si consideri una funzione 
definita in corrispondenza dei numeri interi non negativi, cioè
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t = intero non negativo |
La trasformata Zeta di tale funzione, indicata con
è semplicemente data dalla serie:
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(46) |
Naturalmente, perché tale espressione abbia
significato è necessario che la serie (46) converga in un intorno
del punto improprio z-1= 0 (nel quale essa, ovviamente,
converge). Si supponga ora che f(t) non cresca, al crescere di t,
più in fretta di una serie geometrica. Allora, 
tende ad uno o più limiti positivi, il più grande dei quali
è indicato con Rc, cioè
E' facile mostrare che la serie
converge assolutamente per tutti gli z (complessi)
che soddisfano la relazione
ed è per questo motivo che Rc
è chiamato raggio di convergenza.
L’operazione di trasformazione 
è ovviamente lineare poiché
Teoremi analoghi a quelli visti per le trasformate
di Laplace valgono per le trasformate Zeta. Se si indica con 
la funzione ottenuta da
per traslazione del tempo (ritardo), cioè
vale, ovviamente, la seguente relazione:
mentre, se si indica con 
la funzione ottenuta da
per traslazione del tempo im senso opposto (anticipo), cioè:
si ottiene:
Il modo più semplice per determinare
le espressioni analitiche delle trasformate Zeta è quello di determinare
la somma della serie (46). Così, ad esempio, se
si ha
per IzI>IaI e la stessa formula
vale anche se a è una matrice quadrata A pur di sostituire
ad 1 la matrice unità I .
Altre trasformate
Zeta F(z) di funzioni f(t) sono riportate qui di seguito.
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